В равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AD биссектриса угла А

В равнобедренной трапеции ABCD биссектриса угла А – решение задачи ОГЭ

Автор Ольга Викторовна Опубликовано 26.04.2021

Задача по геометрии ОГЭ (вторая часть): в равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AD биссектриса угла А пересекается с биссектрисой угла C в точке F, а также пересекает сторону CD в точке К. Известно, что угол AFC равен 150⁰. Найдите СК, если FK= $6 \sqrt{3}$ .

Решение задачи

Нарисуем трапецию и проведем в ней биссектрису угла А и биссектрису угла С.

Итак, вспомним свойства биссектрис трапеции – одно из них – биссектриса $СF$ отсекает от трапеции равнобедренный треугольник, получаем треугольник NCD.

Обозначим через $\beta$ угол $\angle{BCD}$ , а через $\alpha$ угол $\angle{CDA}$ , тогда $\angle{BCF}=\angle{FCK}=\frac{\beta}{2}$ , $\angle{FAN}=\frac{\alpha}{2}$ (так как $AK$ и $CN$ – биссектрисы трапеции).

Найдем угол $CFK$ . Так как $\angle{AFC}=150^{\circ}$ , а $\angle{AFK}=180^{\circ}$ , то $\angle{CFK}=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$ .

Тогда из треугольника $AFN$ : внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним, то есть

$\angle{FAN}+\angle{FNA}=150^{\circ} \eqno (1)$

Угол $FNA=180^{\circ}-\frac{\beta}{2}$ . Подставляя эти данные в (1), получаем уравнение с двумя неизвестными:

$\frac{\alpha}{2}+180^{\circ}-\frac{\beta}{2}=150^{\circ}$

или

$\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2}=-30^{\circ}$

или

$\alpha-\beta=-60^{\circ} \eqno (2)$

Рассмотрим треугольник $NDC$ . Сумма углов в треугольнике $180^{\circ}$ . Тогда получим:

$\beta+\alpha=180^{\circ} \eqno (3)$

Из уравнений (2) и (3) составим и решим систему:

$\left\{ \begin{aligned} \alpha-\beta=-60^{\circ}\\ \beta+\alpha=180^{\circ}\\ \end{aligned} \right.$

Решая систему, получаем:

$\left\{ \begin{aligned} 2\alpha=120^{\circ}\\ \beta+\alpha=180^{\circ}\\ \end{aligned} \right.$

$\left\{ \begin{aligned} \alpha=60^{\circ}\\ \beta=120^{\circ}\\ \end{aligned} \right.$

Отсюда, получается, что маленький треугольник $CFK$ – прямоугольный. Действительно $\angle{FCK}=60^{\circ}$ , $\angle{CFK}=30^{\circ}$ . Следовательно если сумма всех углов в треугольнике должна быть $180^{\circ}$ , то оставшийся угол может быть только прямым: $\angle{CKF}=90^{\circ}$

Из прямоугольного треугольника $CFK$ находим:

$tg \angle{CFK}=\frac{CK}{KF}$ ,

$CK=KF tg 30^0=6 \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=6$ .

Ответ: 6