Четверг, 31 марта 2022   Подписка на обновления
Четверг, 31 марта 2022   Подписка на обновления
Популярно
В равнобедренной трапеции ABCD биссектриса угла А — решение задачи ОГЭ

В равнобедренной трапеции ABCD биссектриса угла А — решение задачи ОГЭ


Задача по геометрии ОГЭ (вторая часть): в равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AD биссектриса угла А пересекается с биссектрисой угла C в точке F, а также пересекает сторону CD в точке К. Известно, что угол AFC равен 1500. Найдите СК, если FK=6 \sqrt{3}.

Решение задачи

Нарисуем трапецию и проведем в ней биссектрису угла А и биссектрису угла С.

В равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AD биссектриса угла A

Итак, вспомним свойства биссектрис трапеции — одно из них — биссектриса СF отсекает от трапеции равнобедренный треугольник, получаем треугольник NCD.

В равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AD биссектриса угла A-2

Обозначим через \beta угол \angle{BCD}, а через \alpha угол \angle{CDA}, тогда \angle{BCF}=\angle{FCK}=\frac{\beta}{2}, \angle{FAN}=\frac{\alpha}{2} (так как AK и CNбиссектрисы трапеции).

Найдем угол CFK. Так как \angle{AFC}=150^{\circ}, а \angle{AFK}=180^{\circ}, то \angle{CFK}=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}.

Тогда из треугольника AFN: внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним, то есть

    \[\angle{FAN}+\angle{FNA}=150^{\circ} \eqno (1)\]

Угол FNA=180^{\circ}-\frac{\beta}{2}. Подставляя эти данные в (1), получаем уравнение с двумя неизвестными:

    \[\frac{\alpha}{2}+180^{\circ}-\frac{\beta}{2}=150^{\circ}\]

или

    \[\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2}=-30^{\circ}\]

или

    \[\alpha-\beta=-60^{\circ} \eqno (2)\]

Рассмотрим треугольник NDC. Сумма углов в треугольнике 180^{\circ}. Тогда получим:

    \[\beta+\alpha=180^{\circ} \eqno (3)\]

Из уравнений (2) и (3) составим и решим систему:

    \[\left\{ \begin{aligned} \alpha-\beta=-60^{\circ}\\ \beta+\alpha=180^{\circ}\\ \end{aligned} \right.\]

Решая систему, получаем:

    \[\left\{ \begin{aligned} 2\alpha=120^{\circ}\\ \beta+\alpha=180^{\circ}\\ \end{aligned} \right.\]

    \[\left\{ \begin{aligned} \alpha=60^{\circ}\\ \beta=120^{\circ}\\ \end{aligned} \right.\]

Отсюда, получается, что маленький треугольник CFK — прямоугольный. Действительно \angle{FCK}=60^{\circ}, \angle{CFK}=30^{\circ}. Следовательно если сумма всех углов в треугольнике должна быть 180^{\circ}, то оставшийся угол может быть только прямым: \angle{CKF}=90^{\circ}

Из прямоугольного треугольника CFK находим:

tg \angle{CFK}=\frac{CK}{KF},

CK=KF tg 30^0=6 \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=6.

Ответ: 6

Об авторе: Ольга Викторовна


© 2022 Темы школьной программы — математика 5-11 класс
Дизайн и поддержка: GoodwinPress.ru