В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C

Автор Ольга Викторовна Опубликовано 21.04.2021

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 144⁰. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах. Эта задача из варианта ОГЭ под номером 16. Покажем как можно решить эту задачу.

Внешний угол треугольника

Для того чтобы решить задачу, вспомним что такое внешний угол треугольника – это угол, который образован сторонами треугольника, но лежит вне треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов не смежных с ним:

$\angle 144^{\circ}=\angle A+\angle B \eqno (1)$

Первый способ решения задачи

Воспользуемся свойством внешнего угла (1). Мы также знаем что сумма углов в треугольнике равна 180⁰. А у нас треугольник равнобедренный, у такого треугольника углы при основании AC равны – то есть $\angle A=\angle C=x$ , пусть $\angle$ . Таким образом, $2x+y=180^{\circ}$

Получается, система уравнений:

$\left\{ \begin{aligned} x+y=144^{\circ}\\ 2x+y=180^{\circ}\\ \end{aligned} \right.$

Решим систему:

$\left\{ \begin{aligned} x=144^{\circ}-y\\ 2(144^{\circ}-y)+y=180^{\circ}\\ \end{aligned} \right.$

$\left\{ \begin{aligned} x=144^{\circ}-y\\ 288^{\circ}-2y+y=180^{\circ}\\ \end{aligned} \right.$

$\left\{ \begin{aligned} x=144^{\circ}-y\\ -2y+y=180^{\circ}-288^{\circ}\\ \end{aligned} \right.$

$\left\{ \begin{aligned} x=144^{\circ}-y\\ -y=-108^{\circ}\\ \end{aligned} \right.$

$\left\{ \begin{aligned} x=144^{\circ}-y\\ y=108^{\circ}\\ \end{aligned} \right.$

$\left\{ \begin{aligned} x=36^{\circ}\\ y=108^{\circ}\\ \end{aligned} \right.$

Таким образом, мы нашли $\angle B=108^{\circ}$ .

Второй способ решения задачи

Заметим, что сумма угла C треугольника с внешним углом – 180⁰. Тогда мы сразу получаем значение угла C=180⁰-144⁰=36⁰. Так как треугольник равнобедренный, то $\angle A=\angle C=36^{\circ}$ .

И, используя свойство внешнего угла: $\angle 144^{\circ}=\angle A+\angle B$ , сразу находим $\angle B=144^{\circ}-\angle A=144^{\circ}-36^{\circ}=108^{\circ}$ .

Ответ: 108.

Не забывайте, что ответ нужно записать просто числом, без значка “градус”. Выберите тот способ решения, который вам кажется более удобным. Однако, знать определение внешнего угла треугольника и то, что этот угол равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним, важно.