В целочисленной последовательности a1=2, a2,….,an=336

В целочисленной последовательности а₁=2, а₂, … , а_n-1, a_n=336 сумма любых
двух соседних членов последовательности равна или 5, или 7, или 29.
а) Приведите пример такой последовательности.
б) Может ли такая последовательность состоять из 812 членов?
в) Какое наименьшее число членов может быть в такой
последовательности?

Решение

а) Так как сумма любых двух соседних членов последовательности равна или 5, или 7, или 29, то последовательность обязательно должна содержать отрицательные числа. Пример такой последовательности: 2, 5, 24, -17, 22, … , 334, -329, 336.

б) Если сумма двух чисел – число нечетное (по условию или 5, или 7, или 29), то одно из слагаемых должно быть четным, а другое нечетным числом.

Это означает, что четные числа чередуются с не чётными. По условию а₁=2. Это означает, что четные числа имеют нечетный номер, а нечетные числа имеют четный номер. Таким образом, последний член данной последовательности – четное число 336 будет иметь нечетный номер. Получается, что в этой последовательности не может быть 812 членов.

в) При каких же условиях положительные члены последовательности (стоят на нечетных местах) будут быстрее возрастать? Разберемся на примерах.

Пример 1. Пусть сумма любых двух соседних членов последовательности равна или 5, или 7. Тогда последовательность будет иметь вид: 2, 3, 4, 1, 6, -1, 8, -3, 10, -5, 12, … , 336. Замечаем, что члены, стоящие на нечетных местах: 2, 4, 6, 8, 10,
12, … растут очень медленно (на 7-5=2).

Пример 2. Пусть сумма любых двух соседних членов последовательности равна или 5, или 29. Тогда последовательность будет иметь вид: 2, 3, 26, -21, 50, -45, 74, -69, 98, … , 336. Видим, что члены, стоящие на нечетных местах: 2, 26, 50, 74, 98,
… растут гораздо быстрее (на 29-5=24).

Пример 3. Пусть сумма любых двух соседних членов последовательности равна или 7, или 29. Тогда последовательность будет иметь вид: 2, 5, 24, -17, 46, -39, 68, -61, 90, … , 336. Члены, стоящие на нечетных местах: 2, 24, 46, 68, 90, … растут чуть медленнее, чем в примере 2 (на 29-7=22).

Вывод: В случае, когда сумма любых двух соседних членов последовательности равна или 5, или 29 (пример 2) члены последовательности растут быстрее всего, и, значит, в этом случае мы получим последовательность с наименьшим
количеством членов. Требуется выяснить, сколько членов будет иметь эта последовательность.
1 способ. Можно просто продолжить последовательность, рассмотренную в примере 2, а затем пересчитать полученное количество членов. Итак, эта последовательность: 2, 3, 26, -21, 50, -45, 74, -69, 98, -93, 122, -117, 146, -141, 170,
-163, 194, -189, 218, -213, 242, -237, 266, -261, 290, -285, 314, -307, 336.

Примечание: суммы каждых двух членов чередовались: 5, 29, 5, 29 и т. д. кроме суммы предпоследних двух членов (сумма равна 7, а не 5). Посчитали и получили 29 членов. Следовательно, 29 – наименьшее возможное число членов в этой последовательности.

2 способ. Из примера 2 выпишем последовательность положительных возрастающих членов последовательности от а₁=2 до а_k=336: 2, 26, 50, 74, 98, … , 336. Здесь половина всех членов данной целочисленной последовательности, и это не что иное, как арифметическая прогрессия, разность которой d=24. Найдем количество членов этой прогрессии, используя формулу
общего члена арифметической прогрессии:

a_k=a₁+d(k-1). Подставим наши данные и получим равенство:

336=2+24∙(k-1);
24(k-1)=334,

тогда k-1=334:24;

k-1=13

Отсюда k=14

В настоящей последовательности в 2 раза больше членов, значит, умножаем 14 на 2 и получаем 29 членов, т. е. их или 29 или 30. По рассуждениям пункта б) знаем, что в последовательности не может быть четного количества членов, следовательно, n=29, и это наименьшее возможное число членов в данной целочисленной последовательности.

Ответ: а) да; б) нет; в) 29