Пятница, 17 сентября 2021   Подписка на обновления
Пятница, 17 сентября 2021   Подписка на обновления
Популярно
Пример выполнения задания 18 ЕГЭ профильного уровня по математике

Пример выполнения задания 18 ЕГЭ профильного уровня по математике


Задание 18 в основном содержит уравнение с параметром a. И нужно найти значения параметра a, при которых уравнение будет иметь один или два корня или не будет иметь корней.

Найдите все значения параметра

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \sqrt{(x+7)^2+(a-5)^4}=|x+a+2|+|x-a+12| имеет единственный корень.

Решение: Уравнение не меняется при замене x на -x-14. Поэтому если число x_0 является корнем уравнения, то и число -x_0-14 является его корнем. Для того, чтобы уравнение имело единственный корень, необходимо выполнение условия x_0=-x_0-14, откуда x_0=-7. Таким образом, если данное уравнение имеет единственный корень, то этим корнем может быть число -7.

Подставив x=-7 в данное уравнение, найдем, при каких значениях параметра число -7 является корнем уравнения. При x=-7 уравнение примет вид (a-5)^2=2|a-5|. Поскольку (a-5)^2=|a-5|^2, получим уравнение |a-5|^2=2|a-5|, откуда |a-5|=0 или |a-5|=2. Корнями последних двух уравнений являются a=5, a=3, a=7.

При этих значениях параметра число -7 является корнем уравнения. Но из этого ещё не следует, что -7 будет единственным корнем.

Поэтому нужно рассмотреть данное уравнение при всех допустимых значениях параметра и установить в каждом случае, будет ли число -7 единственным корнем уравнения.

При a=5 уравнение примет вид (x+7)^2=2|x+7|. Аналогичное уравнение, только относительно переменной a, было решено ранее. Корнями уравнения являются числа -9, -7, -5. Значит, при a=-7 уравнение имеет больше одного корня. При a=3 и a=7 уравнение принимает вид \sqrt{(x+7)^4+16}=|x+5|+|x+9|.

  • При x\geq -5 уравнение сводится к уравнению \sqrt{(x+7)^4+16}=2(x+7), откуда (x+7)^4-4(x+7)^2+16=0. Последнее уравнение, квадратное относительно (x+7)^2, не имеет корней, так как дискриминант отрицательный.
  • При -9 \leq x < -5 уравнение принимает вид \sqrt{(x+7)^4+16}=4 и имеет единственный корень x=-7.
  • При x<-9 получаем уравнение \sqrt{(x+7)^4+16}=-2(x+7), тогда (x+7)^4-4(x+7)+16=0. Последнее уравнение не имеет корней, так как дискриминант этого биквадратного уравнения отрицательный. Значит, при a=3 и a=7 данное уравнение имеет единственный корень.

Ответ: {3; 7}

Об авторе: Ольга Викторовна


© 2021 Темы школьной программы — математика 5-11 класс
Дизайн и поддержка: GoodwinPress.ru