...

Пример выполнения задания 18 ЕГЭ профильного уровня по математике

Найдите все значения параметра, при каждом из которых ЕГЭ профильный

Задание 18 в основном содержит уравнение с параметром a. И нужно найти значения параметра a, при которых уравнение будет иметь один или два корня или не будет иметь корней.

Найдите все значения параметра

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \sqrt{(x+7)^2+(a-5)^4}=|x+a+2|+|x-a+12| имеет единственный корень.

Решение: Уравнение не меняется при замене x на -x-14. Поэтому если число x_0 является корнем уравнения, то и число -x_0-14 является его корнем. Для того, чтобы уравнение имело единственный корень, необходимо выполнение условия x_0=-x_0-14, откуда x_0=-7. Таким образом, если данное уравнение имеет единственный корень, то этим корнем может быть число -7.

Подставив x=-7 в данное уравнение, найдем, при каких значениях параметра число -7 является корнем уравнения. При x=-7 уравнение примет вид (a-5)^2=2|a-5|. Поскольку (a-5)^2=|a-5|^2, получим уравнение |a-5|^2=2|a-5|, откуда |a-5|=0 или |a-5|=2. Корнями последних двух уравнений являются a=5, a=3, a=7.

При этих значениях параметра число -7 является корнем уравнения. Но из этого ещё не следует, что -7 будет единственным корнем.

Поэтому нужно рассмотреть данное уравнение при всех допустимых значениях параметра и установить в каждом случае, будет ли число -7 единственным корнем уравнения.

При a=5 уравнение примет вид (x+7)^2=2|x+7|. Аналогичное уравнение, только относительно переменной a, было решено ранее. Корнями уравнения являются числа -9, -7, -5. Значит, при a=-7 уравнение имеет больше одного корня. При a=3 и a=7 уравнение принимает вид \sqrt{(x+7)^4+16}=|x+5|+|x+9|.

  • При x\geq -5 уравнение сводится к уравнению \sqrt{(x+7)^4+16}=2(x+7), откуда (x+7)^4-4(x+7)^2+16=0. Последнее уравнение, квадратное относительно (x+7)^2, не имеет корней, так как дискриминант отрицательный.
  • При -9 \leq x < -5 уравнение принимает вид \sqrt{(x+7)^4+16}=4 и имеет единственный корень x=-7.
  • При x<-9 получаем уравнение \sqrt{(x+7)^4+16}=-2(x+7), тогда (x+7)^4-4(x+7)+16=0. Последнее уравнение не имеет корней, так как дискриминант этого биквадратного уравнения отрицательный. Значит, при a=3 и a=7 данное уравнение имеет единственный корень.

Ответ: {3; 7}

Оцените статью
( 6 оценок, среднее 4.33 из 5 )
Поделиться с друзьями
Темы школьной программы - математика 5-11 класс
Добавить комментарий

  1. Марина

    Все понятно. Сложная задача.

    Ответить
  2. vladimir_baghjuncseme@ya.ru
    Ответить
  3. zoritoler imol

    I love your blog.. very nice colors & theme. Did you create this website yourself or did you hire someone to do it for you? Plz reply as I’m looking to create my own blog and would like to know where u got this from. thanks

    Ответить
  4. gralion torile

    I must show some thanks to you for rescuing me from this particular dilemma. As a result of browsing through the internet and obtaining suggestions which are not helpful, I believed my life was over. Being alive without the answers to the problems you have fixed as a result of your entire review is a critical case, and the ones that could have in a wrong way damaged my entire career if I hadn’t come across your web page. Your main knowledge and kindness in taking care of all the stuff was invaluable. I am not sure what I would’ve done if I hadn’t come upon such a step like this. I can also at this time look ahead to my future. Thanks a lot so much for the specialized and result oriented help. I won’t be reluctant to refer your web site to any person who needs guidelines about this issue.

    Ответить
  5. tlover tonet

    Hi there, I found your site by means of Google while searching for a related topic, your web site came up, it seems great. I have bookmarked it in my google bookmarks.

    Ответить