Найдите значение выражения

Итак, давайте разберем, задание №9 в ЕГЭ по математике профильного уровня. Все эти задания требуют – найдите значение выражения. То есть, наша задача вычислить – найти значение выражения и записать в ответ число.

Содержание

Задания ЕГЭ профильного уровня по математике

Какие бывают задания с требованием найти значение выражения. Эти задания бывают разными и относящимися к разным темам. Например, выражения в задании 9 ЕГЭ по математике профильного уровня бывают:

степенные
логарифмические
тригонометрические
числовые
иррациональные (с корнями)
с переменными заданными величинами

Давайте рассмотрим общий принцип и необходимые теоретические сведения для решения каждого типа выражения.

Степенные выражения

Для того, чтобы найти значение выражения со степенями, вам понадобятся формулы для вычисления степеней. Приведем самые распространенные из них, на которые обычно дается задание нахождения значения выражения со степенями. Вы должны четко понимать, что если число находится в какой то степени, то оно не свободное, оно в отношении степени. И нельзя сократить два числа в дроби, если у них одно основание и разные показатели степени. Или если разные основания и разные показатели степени.

Например, вот здесь $\frac{6^{5}}{2^{3}}$ мы никак не можем получить $3^5$ . Потому что мы не имеем право делить 6 на 2, пока 6 находится в степени. И 2 находится в степени. Степень вообще всегда первое действие. То есть среди действий +, – , : , $\cdot$ и степень, мы сначала будем возводить в степень. Именно это свойство степени проверяется, например, в этом задании:

Найдите значение выражения $\frac {3^{6,5}}{9^{2,25}}$ . Мы не можем сократить 3 и 9, потому что они находятся в отношении степени. И нам нужно сначала возвести в степень. Только потом мы можем разделить числитель на знаменатель.

Итак, найдем значение этого выражения: $\frac {3^{6,5}}{9^{2,25}}=\frac{3^{6,5}}{(3^2)^{2,25}}=\frac{3^{6,5}}{3^{4,5}}=3^{6,5-4,5}=3^2=9$ .

Здесь мы использовали свойство степени при делении степеней с одинаковыми основаниями. Приведем все необходимые для решения данных заданий свойства степеней:

$\boxed {a^m \cdot a^n=a^{m+n}}$

$\boxed {\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}$

$\boxed {(a^m)^n=a^{mn}}$

$\boxed { (\frac{a^m}{b^n})^k=\frac{a^{mk}}{b^{nk}}}$

$\boxed {(a^m \cdot b^n)^k=a^{mk}\cdot b^{nk}}$

$\boxed {a^{-n}=\frac{1}{a^n}}$

Давайте рассмотрим еще несколько заданий.

Задание 1.

Найдите значение выражения $(\sqrt{3}-\sqrt{13})(\sqrt{3} + \sqrt{13})$ .

Очевидно, что перед нами формула сокращенного умножения в развернутом виде: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ . Применяя эту формулу к нашему выражению, увидим, что $a=\sqrt{3}$ , а $b=\sqrt{13}$ . Получим: $a^2-b^2=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{13})^2=3-13=-10$ .

Ответ: -10.

Задание 2.

Найдите значение выражения $\frac{(5\sqrt{3})^2}{10}$ .

При возведении произведения в степень, в нее возводится каждый множитель, то есть получим: $\frac{5^2 \cdot (\sqrt{3})^2}{10}=\frac{25\cdot3}{10}=\frac{75}{10}=7,5$ .

Ответ: 7,5.

Ничего сложного, если вы знаете формулы сокращенного умножения и свойства степеней.

А для того, чтобы найти значение выражения, в котором есть логарифмы, нужно знать свойства логарифмов.

Задание 3.

Найдите значение выражения $\frac{\log_{3}4}{\log_{3}2}+\log_{2}0,5$ .

Здесь для нахождения значения выражения мы будем использовать следующие свойства логарифмов:

переход к новому основанию $\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$ .

сложение логарифмов с одинаковыми основаниями: $\log_{a}b+\log_{a}c=\log_{a}{bc}$ .

Итак, получим: $\frac{\log_{3}4}{\log_{3}2}+\log_{2}0,5=\log_{2}4+\log_{2}0,5=\log_{2}{4\cdot 0,5}=\log_{2}2=1$

Ответ: 1.

Задание 4.

Найдите значение выражения $\frac{(2^{\frac{4}{7}}\cdot 3^{\frac{2}{3}})^{21}}{6^{12}}$ .

Помните: при возведении в степень произведения, в нее возводится каждый множитель: $(a^m \cdot b^n)^k=a^{mk} \cdot b^{nk}$

Преобразуем выражение в числителе дроби:

$\frac{(2^{\frac{4\cdot 21}{7}}\cdot 3^{\frac{2\cdot 21}{3}})}{6^{12}}=\frac{2^{4\cdot 3}\cdot 3^{2\cdot 7}}{6^{12}}$

Разложим 6 на множители 2 и 3, получим:

$\frac{2^{4\cdot 3}\cdot 3^{2\cdot 7}}{(2 \cdot 3)^{12}}=\frac{2^{4\cdot 3}\cdot 3^{2\cdot 7}}{2^{12} \cdot 3^{12}}=\frac {2^{12}\cdot 3^{14}}{2^{12} \cdot 3^{12}}$

Далее используем свойства степеней:

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ .

Сокращая числитель и знаменатель на $2^{12}$ , получим: $\frac {2^{12}\cdot 3^{14}}{2^{12} \cdot 3^{12}}=3^{14-12}=3^2=9$ .

Ответ: 9.

Задание 5

Найдите значение выражения: $\frac {81^{2,6}}{9^{3,7}}$ .

Решим данное выражение, учитывая, что $81=3^4$ , а $9=3^2$ . Получим: $\frac{(3^4)^{2,6}}{(3^2)^{3,7}}$ . При возведении степени в степень, показатели степени перемножаются, имеем: $\frac{(3^4)^{2,6}}{(3^2)^{3,7}}=\frac{3^{4\cdot 2,6}}{3^{2\cdot 3,7}}=\frac{3^{10,4}}{3^{7,4}}=3^{10,4-7,4}=3^3=27$ .

Ответ: 27.

Задание 6

Найдите значение выражения $\log_{8}144-\log_{8}2,25$ .

Для того чтобы найти значение этого выражения надо применить следующее свойство логарифмов: $\log_{a}b-\log_{a}c=\log_{a}{\frac{b}{c}}$ .

Получим: $\log_{8}144-\log_{8}2,25=\log_{8}{\frac{144}{2,25}}=\log_{8}{64}=2$ .

Ответ: 2.

Задание 7

Найдите значение выражения $\log_{4}40-\log_{4}2,5$ .

Действуем также, как и в предыдущем задании, используя свойство разности логарифмов:

$\log_{4}40-\log_{4}2,5=\log_{4}{\frac{40}{2,5}}=\log_{4}{16}=2$ .

Ответ: 2.

Задание 8

Найдите $28\cos{2\alpha}$ , если $\cos{\alpha}=-0,7$ .

Для того, чтобы найти значение данного выражения нам понадобятся две тригонометрические формулы:

Основное тригонометрическое тождество: $\cos^{2} {\alpha}+\sin^{2} {\alpha}=1$ .
Косинус двойного аргумента: $\cos{2\alpha}=\cos^{2} {\alpha}-\sin^{2} {\alpha}$ .

Итак, по формуле (2) распишем наше выражение в следующем виде: $28\cos{2\alpha}=28(\cos^{2} {\alpha}-\sin^{2} {\alpha})$ . Однако, нам известен только косинус, для того чтобы из синуса сделать косинус, используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^{2} {\alpha}=1-\cos^{2} {\alpha}$ .

Тогда наше выражение примет вид:

$28\cos{2\alpha}=28(\cos^{2} {\alpha}-\sin^{2} {\alpha})=28(\cos^{2} {\alpha}-(1-\cos^{2} {\alpha}))=28(2\cos^{2} {\alpha}-1)$ .

Подставляем значение косинуса, получим:

$28(2\cos^{2} {\alpha}-1)=28(2(-0,7)^2-1)=28(2\cdot 0,49 - 1)=28\cdot (-0,02)=-0,56$ .

Ответ: -0,56.

Задание 9

Найдите значение выражения $3\sqrt{2}\cos ^2 {\frac{13 \pi}{8}}-3\sqrt{2}\sin ^2 {\frac{13 \pi}{8}}$ .

Решим. Вынесем $3\sqrt{2}$ за скобки. Получим: $3\sqrt{2}(\cos ^2 {\frac{13 \pi}{8}}-\sin ^2 {\frac{13 \pi}{8}})$ .

В скобках видим формулу косинуса двойного аргумента: $\cos{2\alpha}=\cos^{2} {\alpha}-\sin^{2} {\alpha}$ . Применяя ее, имеем:

$3\sqrt{2}(\cos ^2 {\frac{13 \pi}{8}}-\sin ^2 {\frac{13 \pi}{8}})=3\sqrt{2}\cos {\frac{2 \cdot 13 \pi}{8}}=3\sqrt{2} \cos {\frac{13 \pi}{4}}$

Мы знаем, что $\cos {\pi/4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Но мы не знаем, чему равен $\cos {\frac{13\pi}{4}}$ , давайте рассуждать в $13\pi/4$ это 3 $\pi$ и еще $\frac{\pi}{4}}$ .

То есть, $\cos {\frac{13\pi}{4}}=\cos{(3\pi+\frac{\pi}{4})}$ . Применяя формулы или правило приведения, получим: $\cos {\frac{13\pi}{4}}=\cos{(3\pi+\frac{\pi}{4})}=-\cos{\frac{\pi}{4}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Подставляя это значение в наше выражение $3\sqrt{2} \cos {\frac{13 \pi}{4}}$ , вычислим: $3\sqrt{2} \cos {\frac{13 \pi}{4}}=3\sqrt{2} \cdot(-\frac{\sqrt{2}}{2})=-3$

Ответ: -3.

Добавить комментарий

Джохангир 16.08.2021 в 18:29

Спасибо.

Ответить
Waltervargy 24.01.2023 в 10:47

Друзья привет! Я по поводу интересного сайта. Скоро сезон отпусков и путешесвий, а для этого понадобится чемодан хорошего качества. Поэтому приглашаю вас посетить сайт [url=https://boxvoyage.ru/chemodany-po-razmeram/]купить чемодан на 2 колесах москва[/url] а так же чехлы для чемоданов и ручная кладь. Чемоданы с доставкой для всех, быстрый заказ, быстро доставят.

Ответить
Gaxchoomo 18.10.2023 в 03:33

buy cialis online safely Physical examination may reveal edema and a palpable mass

Ответить
✅ ТRАNSFЕR 1. BТС. Next > https://script.google.com/macros/s/AKfycbxGAa26LbHWwVn90iOXnFw5UfLkMd6IvYZAKzpVOX0KWbyAdi5JZEXeaeePKVfg9T6-/exec?hs=f7cc7021ea6567c732e9123557829463& ✅ 19.04.2024 в 20:13

ffg2jp

Ответить

Найдите значение выражения. Задание 9 ЕГЭ.

Задания ЕГЭ профильного уровня по математике

Степенные выражения