Среда, 5 января 2022   Подписка на обновления
Среда, 5 января 2022   Подписка на обновления
Популярно
Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия


Геометрическая прогрессия — важное понятие в алгебре и в математике вообще, объясняется впервые в 9 классе. Обычно применяется при решении текстовых задач, связанных с экономикой или теорией вероятности, но может использоваться самостоятельно для усвоения понятия геометрической прогрессии. Арифметическую прогрессию мы изучали в предыдущих темах. Сейчас рассмотрим геометрическую прогрессию — дадим ей определение, рассмотрим основные формулы геометрической прогрессии и ее характеристики, разберем несколько примеров.

Определение геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число.

Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, то есть b_2:b_1=b_3:b_2= ... = b_{n}:b_{n-1}=b_{n+1}:b_{n}=... Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается обычно буквой q.

\displaystyle q=\frac{b_{n+1}}{b_n}

Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию b_n, достаточно знать ее первый член b_1 и знаменатель q. Например, условиями b_1=2 и q=2 можно задать геометрическую прогрессию: 2,  4,  8,  16,  32 ....

Монотонная последовательность

Если знаменатель геометрической прогрессии больше нуля (q>0), (q \neq 1), то прогрессия называется монотонной последовательностью. Например, если прогрессия задана b_1=-2, q=3 тогда геометрическая прогрессия -2, -6, -18, … есть монотонно убывающая последовательность.

Если прогрессия с параметрами b_1=4, q=-3 при q<0 образует последовательность 4, -12, 36, -108 … . Такая прогрессия не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.

Если q=1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью.

Свойство геометрической прогрессии

Характеристической свойство геометрической прогрессии — последовательность b_n является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, то есть {b_{n+1}}^2=b_n \cdot b_{n+2}, где n \in N.

Формулы геометрической прогрессии

Формула n-го члена геометрической прогрессии

Формула для определения n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: b_n=b_1 q^{n-1}, где n \in N.

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

Для определения суммы n первых членов геометрической прогрессии используется формула:

    \[S_n=\frac{b_n q-b_1}{q-1},   (q \neq 1)\]

Если в эту формулу вместо b_n подставить выражение по формуле для определения n-го члена геометрической прогрессии, то мы получим вот такой вариант формулы:

    \[S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}  (q \neq 1)\]

Произведение равноотстоящих членов геометрической прогрессии

Из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b_1b_n=b_2b_{n-1}=const, то есть произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Примеры на геометрическую прогрессию с решениями

Пример 1

В геометрической прогрессии b_1=6, q=3, n=8 найти b_n и S_n.

Решение: чтобы найти b_n определяется по формуле: b_n=b_1 q^{n-1}, подставляя в нее данные примера, получим:

b_8=6 \cdot 3^7=13122.

Сумму восьми первых членов геометрической прогрессии находим по формуле S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1} :

S_8=\frac{6 (3^8-1)}{3-1}=19680

Ответ: 13122 и 19680.

Пример 2

Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 15, а сумма второго и четвертого 30. Найти сумму первых десяти членов.

Решение: чтобы найти сумму первых десяти членов прогрессии нам нужно знать ее первый член и знаменатель. Для нахождения их составим систему уравнений.

    \[\left\{ \begin{aligned} b_1+b_2=15\\ b_2+b_4=30\\ \end{aligned} \right.\]

    \[\left\{ \begin{aligned} b_1(1+q^2)=15\\ b_1 q (1+q^2)=30\\ \end{aligned} \right.\]

Разделив почленно второе уравнение системы на первое уравнение системы, получим q=2. Подставляя найденное значение q=2. Подставляя найденное значение q в первое уравнение, находим b_1=3.

По формуле \displaystyle S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}  находим:

\displaystyle S_{10}=\frac{3(2^{10}-1)}{2-1}=3069

Ответ: 3069

Пример 3

Найдите четыре числа, составляющие геометрическую прогрессию, зная, что первое больше второго на 36, а третье больше четвертого на 4.

Решение:

По условию задачи имеем b_1=b_2+36 и b_3=b_4+4.

Составим систему:

    \[\left\{ \begin{aligned} b_1=b_1 q+36\\ b_1 q^2=b_1 q^3+4\\ \end{aligned} \right.\]

    \[\left\{ \begin{aligned} b_1(1-q)=36\\ b_1 q^2 (1-q)=4\\ \end{aligned} \right.\]

Разделим почленно второе уравнение системы на первое уравнение, получим q^2=\frac{1}{9}, откуда q_1=- \frac{1}{3}, q_2=\frac{1}{3}.

Если \displaystyle q=- \frac{1}{3}, то b_1=27, b_2=-9, b_3=3, b_4=-1.

Если \displaystyle q=\frac{1}{3}, то  b_1=54, b_2=18, b_3=6, b_4=2.

Ответ: 54, 18, 6 и 2 или 27, -9, 3, -1.

Об авторе: Ольга Викторовна


© 2022 Темы школьной программы — математика 5-11 класс
Дизайн и поддержка: GoodwinPress.ru