Геометрическая прогрессия - определение и формулы

Геометрическая прогрессия – важное понятие в алгебре и в математике вообще, объясняется впервые в 9 классе. Обычно применяется при решении текстовых задач, связанных с экономикой или теорией вероятности, но может использоваться самостоятельно для усвоения понятия геометрической прогрессии. Арифметическую прогрессию мы изучали в предыдущих темах. Сейчас рассмотрим геометрическую прогрессию – дадим ей определение, рассмотрим основные формулы геометрической прогрессии и ее характеристики, разберем несколько примеров.

Содержание

Определение геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число.

Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, то есть $b_2:b_1=b_3:b_2= ... = b_{n}:b_{n-1}=b_{n+1}:b_{n}=...$ Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается обычно буквой $q$ .

$\displaystyle q=\frac{b_{n+1}}{b_n}$

Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию $b_n$ , достаточно знать ее первый член $b_1$ и знаменатель $q$ . Например, условиями $b_1=2$ и $q=2$ можно задать геометрическую прогрессию: $2, 4, 8, 16, 32 ...$ .

Монотонная последовательность

Если знаменатель геометрической прогрессии больше нуля $(q>0)$ , $(q \neq 1)$ , то прогрессия называется монотонной последовательностью. Например, если прогрессия задана $b_1=-2$ , $q=3$ тогда геометрическая прогрессия -2, -6, -18, … есть монотонно убывающая последовательность.

Если прогрессия с параметрами $b_1=4$ , $q=-3$ при $q<0$ образует последовательность 4, -12, 36, -108 … . Такая прогрессия не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.

Если $q=1$ , то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью.

Свойство геометрической прогрессии

Характеристической свойство геометрической прогрессии – последовательность $b_n$ является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, то есть ${b_{n+1}}^2=b_n \cdot b_{n+2}$ , где $n \in N$ .

Формулы геометрической прогрессии

Формула n-го члена геометрической прогрессии

Формула для определения n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n=b_1 q^{n-1}$ , где $n \in N$ .

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

Для определения суммы n первых членов геометрической прогрессии используется формула:

$S_n=\frac{b_n q-b_1}{q-1}, (q \neq 1)$

Если в эту формулу вместо $b_n$ подставить выражение по формуле для определения n-го члена геометрической прогрессии, то мы получим вот такой вариант формулы:

$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1} (q \neq 1)$

Произведение равноотстоящих членов геометрической прогрессии

Из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что $b_1b_n=b_2b_{n-1}=const$ , то есть произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Примеры на геометрическую прогрессию с решениями

Пример 1

В геометрической прогрессии $b_1=6$ , $q=3$ , $n=8$ найти $b_n$ и $S_n$ .

Решение: чтобы найти $b_n$ определяется по формуле: $b_n=b_1 q^{n-1}$ , подставляя в нее данные примера, получим:

$b_8=6 \cdot 3^7=13122$ .

Сумму восьми первых членов геометрической прогрессии находим по формуле $S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$ :

$S_8=\frac{6 (3^8-1)}{3-1}=19680$

Ответ: 13122 и 19680.

Пример 2

Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 15, а сумма второго и четвертого 30. Найти сумму первых десяти членов.

Решение: чтобы найти сумму первых десяти членов прогрессии нам нужно знать ее первый член и знаменатель. Для нахождения их составим систему уравнений.

$\left\{ \begin{aligned} b_1+b_2=15\\ b_2+b_4=30\\ \end{aligned} \right.$

$\left\{ \begin{aligned} b_1(1+q^2)=15\\ b_1 q (1+q^2)=30\\ \end{aligned} \right.$

Разделив почленно второе уравнение системы на первое уравнение системы, получим $q=2$ . Подставляя найденное значение $q=2$ . Подставляя найденное значение $q$ в первое уравнение, находим $b_1=3$ .

По формуле $\displaystyle S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$ находим:

$\displaystyle S_{10}=\frac{3(2^{10}-1)}{2-1}=3069$

Ответ: 3069

Пример 3

Найдите четыре числа, составляющие геометрическую прогрессию, зная, что первое больше второго на 36, а третье больше четвертого на 4.

Решение:

По условию задачи имеем $b_1=b_2+36$ и $b_3=b_4+4$ .

Составим систему:

$\left\{ \begin{aligned} b_1=b_1 q+36\\ b_1 q^2=b_1 q^3+4\\ \end{aligned} \right.$

$\left\{ \begin{aligned} b_1(1-q)=36\\ b_1 q^2 (1-q)=4\\ \end{aligned} \right.$

Разделим почленно второе уравнение системы на первое уравнение, получим $q^2=\frac{1}{9}$ , откуда $q_1=- \frac{1}{3}$ , $q_2=\frac{1}{3}$ .

Если $\displaystyle q=- \frac{1}{3}$ , то $b_1=27$ , $b_2=-9$ , $b_3=3$ , $b_4=-1$ .

Если $\displaystyle q=\frac{1}{3}$ , то $b_1=54$ , $b_2=18$ , $b_3=6$ , $b_4=2$ .

Ответ: 54, 18, 6 и 2 или 27, -9, 3, -1.

Добавить комментарий

Jamesmub 10.02.2023 в 11:25

Quis possimus voluptas et sed
[url=https://k2kotel.ru/kotly-dlya-kosmetiki]Котел для варки косметики[/url]
vel adipisci. Qui eaque soluta perspiciatis. Autem earum et suscipit quasi ut. Voluptate sapiente voluptatem repudiandae officia similique voluptatum alias. Suscipit est minus aut. Laudantium dolorum quaerat quibusdam excepturi et rerum.

Sequi eius officiis eveniet est qui consequatur facere rerum. Rerum molestiae blanditiis quia dolorem quo et nisi. Quia itaque optio velit ea quod sapiente consequatur. Optio optio delectus consectetur sint eaque.

Eos sit earum quis. Ipsam et sapiente esse. Distinctio eius similique explicabo doloremque est quos perferendis omnis.

Dolorem minima voluptas velit expedita porro. Voluptatibus eos aut quia. Laborum eligendi cupiditate soluta commodi labore sed autem. Assumenda qui vel culpa rerum. Corporis nostrum ut consequatur nobis.

Ответить
zoritoler imol 22.08.2023 в 05:32

I’m just writing to make you understand of the terrific experience my wife’s child enjoyed viewing your web page. She realized plenty of details, which include how it is like to have an incredible teaching spirit to make the others without hassle comprehend several multifaceted topics. You really did more than our own desires. Many thanks for presenting such interesting, safe, explanatory and even unique tips on the topic to Mary.

Ответить