Геометрическая прогрессия – важное понятие в алгебре и в математике вообще, объясняется впервые в 9 классе. Обычно применяется при решении текстовых задач, связанных с экономикой или теорией вероятности, но может использоваться самостоятельно для усвоения понятия геометрической прогрессии. Арифметическую прогрессию мы изучали в предыдущих темах. Сейчас рассмотрим геометрическую прогрессию – дадим ей определение, рассмотрим основные формулы геометрической прогрессии и ее характеристики, разберем несколько примеров.
Содержание
Определение геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число.
Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, то есть Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается обычно буквой
.
Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию , достаточно знать ее первый член
и знаменатель
. Например, условиями
и
можно задать геометрическую прогрессию:
.
Монотонная последовательность
Если знаменатель геометрической прогрессии больше нуля ,
, то прогрессия называется монотонной последовательностью. Например, если прогрессия задана
,
тогда геометрическая прогрессия -2, -6, -18, … есть монотонно убывающая последовательность.
Если прогрессия с параметрами ,
при
образует последовательность 4, -12, 36, -108 … . Такая прогрессия не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.
Если , то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью.
Свойство геометрической прогрессии
Характеристической свойство геометрической прогрессии – последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, то есть
, где
.
Формулы геометрической прогрессии
Формула n-го члена геометрической прогрессии
Формула для определения n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: , где
.
Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии
Для определения суммы n первых членов геометрической прогрессии используется формула:
Если в эту формулу вместо подставить выражение по формуле для определения n-го члена геометрической прогрессии, то мы получим вот такой вариант формулы:
Произведение равноотстоящих членов геометрической прогрессии
Из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что , то есть произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.
Примеры на геометрическую прогрессию с решениями
Пример 1
В геометрической прогрессии ,
,
найти
и
.
Решение: чтобы найти определяется по формуле:
, подставляя в нее данные примера, получим:
.
Сумму восьми первых членов геометрической прогрессии находим по формуле :
Ответ: 13122 и 19680.
Пример 2
Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 15, а сумма второго и четвертого 30. Найти сумму первых десяти членов.
Решение: чтобы найти сумму первых десяти членов прогрессии нам нужно знать ее первый член и знаменатель. Для нахождения их составим систему уравнений.
Разделив почленно второе уравнение системы на первое уравнение системы, получим . Подставляя найденное значение
. Подставляя найденное значение
в первое уравнение, находим
.
По формуле находим:
Ответ: 3069
Пример 3
Найдите четыре числа, составляющие геометрическую прогрессию, зная, что первое больше второго на 36, а третье больше четвертого на 4.
Решение:
По условию задачи имеем и
.
Составим систему:
Разделим почленно второе уравнение системы на первое уравнение, получим , откуда
,
.
Если , то
,
,
,
.
Если , то
,
,
,
.
Ответ: 54, 18, 6 и 2 или 27, -9, 3, -1.