Геометрическая прогрессия - определение и формулы

Геометрическая прогрессия – важное понятие в алгебре и в математике вообще, объясняется впервые в 9 классе. Обычно применяется при решении текстовых задач, связанных с экономикой или теорией вероятности, но может использоваться самостоятельно для усвоения понятия геометрической прогрессии. Арифметическую прогрессию мы изучали в предыдущих темах. Сейчас рассмотрим геометрическую прогрессию – дадим ей определение, рассмотрим основные формулы геометрической прогрессии и ее характеристики, разберем несколько примеров.

Содержание

Определение геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число.

Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, то есть $b_2:b_1=b_3:b_2= ... = b_{n}:b_{n-1}=b_{n+1}:b_{n}=...$ Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается обычно буквой $q$ .

$\displaystyle q=\frac{b_{n+1}}{b_n}$

Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию $b_n$ , достаточно знать ее первый член $b_1$ и знаменатель $q$ . Например, условиями $b_1=2$ и $q=2$ можно задать геометрическую прогрессию: $2, 4, 8, 16, 32 ...$ .

Монотонная последовательность

Если знаменатель геометрической прогрессии больше нуля $(q>0)$ , $(q \neq 1)$ , то прогрессия называется монотонной последовательностью. Например, если прогрессия задана $b_1=-2$ , $q=3$ тогда геометрическая прогрессия -2, -6, -18, … есть монотонно убывающая последовательность.

Если прогрессия с параметрами $b_1=4$ , $q=-3$ при $q<0$ образует последовательность 4, -12, 36, -108 … . Такая прогрессия не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.

Если $q=1$ , то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью.

Свойство геометрической прогрессии

Характеристической свойство геометрической прогрессии – последовательность $b_n$ является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, то есть ${b_{n+1}}^2=b_n \cdot b_{n+2}$ , где $n \in N$ .

Формулы геометрической прогрессии

Формула n-го члена геометрической прогрессии

Формула для определения n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n=b_1 q^{n-1}$ , где $n \in N$ .

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

Для определения суммы n первых членов геометрической прогрессии используется формула:

$S_n=\frac{b_n q-b_1}{q-1}, (q \neq 1)$

Если в эту формулу вместо $b_n$ подставить выражение по формуле для определения n-го члена геометрической прогрессии, то мы получим вот такой вариант формулы:

$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1} (q \neq 1)$

Произведение равноотстоящих членов геометрической прогрессии

Из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что $b_1b_n=b_2b_{n-1}=const$ , то есть произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Примеры на геометрическую прогрессию с решениями

Пример 1

В геометрической прогрессии $b_1=6$ , $q=3$ , $n=8$ найти $b_n$ и $S_n$ .

Решение: чтобы найти $b_n$ определяется по формуле: $b_n=b_1 q^{n-1}$ , подставляя в нее данные примера, получим:

$b_8=6 \cdot 3^7=13122$ .

Сумму восьми первых членов геометрической прогрессии находим по формуле $S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$ :

$S_8=\frac{6 (3^8-1)}{3-1}=19680$

Ответ: 13122 и 19680.

Пример 2

Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 15, а сумма второго и четвертого 30. Найти сумму первых десяти членов.

Решение: чтобы найти сумму первых десяти членов прогрессии нам нужно знать ее первый член и знаменатель. Для нахождения их составим систему уравнений.

$\left\{ \begin{aligned} b_1+b_2=15\\ b_2+b_4=30\\ \end{aligned} \right.$

$\left\{ \begin{aligned} b_1(1+q^2)=15\\ b_1 q (1+q^2)=30\\ \end{aligned} \right.$

Разделив почленно второе уравнение системы на первое уравнение системы, получим $q=2$ . Подставляя найденное значение $q=2$ . Подставляя найденное значение $q$ в первое уравнение, находим $b_1=3$ .

По формуле $\displaystyle S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$ находим:

$\displaystyle S_{10}=\frac{3(2^{10}-1)}{2-1}=3069$

Ответ: 3069

Пример 3

Найдите четыре числа, составляющие геометрическую прогрессию, зная, что первое больше второго на 36, а третье больше четвертого на 4.

Решение:

По условию задачи имеем $b_1=b_2+36$ и $b_3=b_4+4$ .

Составим систему:

$\left\{ \begin{aligned} b_1=b_1 q+36\\ b_1 q^2=b_1 q^3+4\\ \end{aligned} \right.$

$\left\{ \begin{aligned} b_1(1-q)=36\\ b_1 q^2 (1-q)=4\\ \end{aligned} \right.$

Разделим почленно второе уравнение системы на первое уравнение, получим $q^2=\frac{1}{9}$ , откуда $q_1=- \frac{1}{3}$ , $q_2=\frac{1}{3}$ .

Если $\displaystyle q=- \frac{1}{3}$ , то $b_1=27$ , $b_2=-9$ , $b_3=3$ , $b_4=-1$ .

Если $\displaystyle q=\frac{1}{3}$ , то $b_1=54$ , $b_2=18$ , $b_3=6$ , $b_4=2$ .

Ответ: 54, 18, 6 и 2 или 27, -9, 3, -1.