Производная функции — определение и геометрический смысл

Производная функции — что это такое? Как раз и навсегда понять и узнавать производную функцию. Производная — это понятие применимое к какой-либо функции и означает оно ни что иное как быстроту изменения функции (величины y) при изменении величины x, то есть другими словами — производная — это скорость с которой изменяется функция при изменении аргумента.

Такая зависимость — скорость изменения функции от аргумента также может быть описана функцией. Соответственно, возможны и первая, и вторая производные, если функция достаточна изменчива и непрерывна, чтобы позволить это. Давайте разберем это подробнее.

Содержание

Понятие производной

Если мы возьмем на графике любые две точки, например точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ . Тогда $x_2-x_1$ — это приращение аргумента, а $y_2-y_1$ — приращение функции. Приращение аргумента кратко обозначается $\Delta x$ , а приращение функции $\Delta y$ .

Определение производной

Производная функции — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. На графике это означает, что точка с координатой $x_2$ стремится к точке с координатой $x_1$ .

Производная обозначается также как функция, только сверху ставится штрих — вот так $y'$

Итак, производная функции:

$y'=\displaystyle \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Замечание: Если вы встречаете такое выражение «производная f(x)» или «производная f» — это все равно что производная функции y(x). Функцию можно обозначать любой буквой, наиболее часто встречаются следующие обозначения функции — f(x), y(x), g(x).

Геометрический смысл производной

Проведем через точки A и B прямую и обратим внимание на то, что отношение $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ это тангенс угла α. При стремлении $\Delta x$ к нулю, точка B приближается к точке A и наша прямая становится касательной к графику функции в точке A, а значение производной — это будет тангенс угла наклона касательной с осью Ox.

Обратите внимание, что в нашем примере $\Delta y=y_2-y_1<0$ , а $\Delta x=x_2-x_1>0$ , производная будет отрицательна, то как при делении отрицательного числа на положительное, мы получим отрицательное число. Подробнее поговорим об этом в теме «Знак производной». Однако уже понятно, что если функция убывает, то значение производной на всем участке убывания будет отрицательным. Самостоятельно вы можете проверить — каким будет значение производной, если функция возрастает, а также в точках максимума и минимума функции.

Существование производной

Производная существует не для любых функций, есть определенные критерии, при которых возможно существование производной:

Функция $y(x)$ задана и непрерывна.
Предел $\displaystyle \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$ существует и конечен.

Если предел не существует, то это, как правило, связано с тем, что в точке, в которой ищется производная, нельзя провести касательную к графику функции. Или касательная образует с осью $Ox$ угол 90⁰. В этом случае производная обращается в бесконечность.

Пример: дана функция $y=\sqrt[3]{x}$ . Найдем производную этой функции:

$y'=\displaystyle \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}$ .

В точке $x=0$ производная будет обращаться в бесконечность, то есть $y'(0)=\infty$ .

Сейчас уже не строят графики функций, чтобы определить значение производной, для ее нахождения применяются таблица производных элементарных функций и правила дифференцирования. А пока решим несколько несложных примеров на понятия приращения функции и приращения аргумента.

Примеры на приращение функции и аргумента

Пример 1

Найдите приращение функции $\Delta y$ для функции $y^2$ , если $x=2,5$ , $x_0$ =2.

Решение: Понятно что начальное значение аргумента равно 2, а конечное значение 2,5. Найдем значение функции в этих двух точках $y_0=y(x_0)=2^2=4$ и $y=y(x)=2,25^2=6,25$ .

Тогда $\Delta y=y-y_0=6,25-4=2,25$ .

Пример 2

Дана функция $\displaystyle y=\frac{1}{x}$ . Найдите приращение $\Delta y$ при $x=1$ и $\Delta x=0,2$ .

Решение:

$\displaystyle \Delta y=y(x+\Delta x)-y(x)=y(1,2)-y(1)=\frac{1}{1,2}-\frac{1}{1}= \frac{10}{12}-1=\frac{10}{12}-\frac{12}{12}=\frac{-2}{12}=-\frac{1}{6}$ .