Производная функции – что это такое? Как раз и навсегда понять и узнавать производную функцию. Производная – это понятие применимое к какой-либо функции и означает оно ни что иное как быстроту изменения функции (величины y) при изменении величины x, то есть другими словами – производная – это скорость с которой изменяется функция при изменении аргумента.
Такая зависимость – скорость изменения функции от аргумента также может быть описана функцией. Соответственно, возможны и первая, и вторая производные, если функция достаточна изменчива и непрерывна, чтобы позволить это. Давайте разберем это подробнее.
Содержание
Понятие производной
Если мы возьмем на графике любые две точки, например точки с координатами и
. Тогда
– это приращение аргумента, а
– приращение функции. Приращение аргумента кратко обозначается
, а приращение функции
.
Производная обозначается также как функция, только сверху ставится штрих – вот так
Итак, производная функции:
Замечание: Если вы встречаете такое выражение “производная f(x)” или “производная f” – это все равно что производная функции y(x). Функцию можно обозначать любой буквой, наиболее часто встречаются следующие обозначения функции – f(x), y(x), g(x).
Геометрический смысл производной
Проведем через точки A и B прямую и обратим внимание на то, что отношение это тангенс угла α. При стремлении
к нулю, точка B приближается к точке A и наша прямая становится касательной к графику функции в точке A, а значение производной – это будет тангенс угла наклона касательной с осью Ox.
Обратите внимание, что в нашем примере , а
, производная будет отрицательна, то как при делении отрицательного числа на положительное, мы получим отрицательное число. Подробнее поговорим об этом в теме “Знак производной”. Однако уже понятно, что если функция убывает, то значение производной на всем участке убывания будет отрицательным. Самостоятельно вы можете проверить – каким будет значение производной, если функция возрастает, а также в точках максимума и минимума функции.
Существование производной
Производная существует не для любых функций, есть определенные критерии, при которых возможно существование производной:
- Функция
задана и непрерывна.
- Предел
существует и конечен.
Если предел не существует, то это, как правило, связано с тем, что в точке, в которой ищется производная, нельзя провести касательную к графику функции. Или касательная образует с осью угол 900. В этом случае производная обращается в бесконечность.
Пример: дана функция . Найдем производную этой функции:
.
В точке производная будет обращаться в бесконечность, то есть
.
Сейчас уже не строят графики функций, чтобы определить значение производной, для ее нахождения применяются таблица производных элементарных функций и правила дифференцирования. А пока решим несколько несложных примеров на понятия приращения функции и приращения аргумента.
Примеры на приращение функции и аргумента
Пример 1
Найдите приращение функции для функции
, если
,
=2.
Решение: Понятно что начальное значение аргумента равно 2, а конечное значение 2,5. Найдем значение функции в этих двух точках и
.
Тогда .
Пример 2
Дана функция . Найдите приращение
при
и
.
Решение:
.
Ответ:
4llmaw