...

Производная функции – определение и геометрический смысл

Производная функции и ее геометрический смысл АЛГЕБРА

Производная функции – что это такое? Как раз и навсегда понять и узнавать производную функцию. Производная – это понятие применимое к какой-либо функции и означает оно ни что иное как быстроту изменения функции (величины y) при изменении величины x, то есть другими словами – производная – это скорость с которой изменяется функция при изменении аргумента.

Такая зависимость – скорость изменения функции от аргумента также может быть описана функцией. Соответственно, возможны и первая, и вторая производные, если функция достаточна изменчива и непрерывна, чтобы позволить это. Давайте разберем это подробнее.

Понятие производной

Если мы возьмем на графике любые две точки, например точки с координатами (x_1, y_1) и (x_2, y_2). Тогда x_2-x_1 – это приращение аргумента, а y_2-y_1 – приращение функции. Приращение аргумента кратко обозначается \Delta x, а приращение функции \Delta y.

Производная функции - график 1

 

Определение производной
Производная функции – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. На графике это означает, что точка с координатой x_2 стремится к точке с координатой x_1.

Производная обозначается также как функция, только сверху ставится штрих – вот так y'

Итак, производная функции:

y'=\displaystyle \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}

 

Производная функции - формула производной

Замечание: Если вы встречаете такое выражение “производная f(x)” или “производная f” – это все равно что производная функции y(x). Функцию можно обозначать любой буквой, наиболее часто встречаются следующие обозначения функции – f(x), y(x), g(x).

Геометрический смысл производной

Проведем через точки A и B прямую и обратим внимание на то, что отношение \frac{\Delta y}{\Delta x} это тангенс угла α. При стремлении \Delta x к нулю, точка B приближается к точке A и наша прямая становится касательной к графику функции в точке A, а значение производной – это будет тангенс угла наклона касательной с осью Ox.

Геометрический смысл производной

Обратите внимание, что в нашем примере \Delta y=y_2-y_1<0, а \Delta x=x_2-x_1>0, производная будет отрицательна, то как при делении отрицательного числа на положительное, мы получим отрицательное число. Подробнее поговорим об этом в теме “Знак производной”. Однако уже понятно, что если функция убывает, то значение производной на всем участке убывания будет отрицательным. Самостоятельно вы можете проверить – каким будет значение производной, если функция возрастает, а также в точках максимума и минимума функции.

Существование производной

Производная существует не для любых функций, есть определенные критерии, при которых возможно существование производной:

  1. Функция y(x) задана и непрерывна.
  2. Предел \displaystyle \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} существует и конечен.

Если предел не существует, то это, как правило, связано с тем, что в точке, в которой ищется производная, нельзя провести касательную к графику функции. Или касательная образует с осью Ox угол 900. В этом случае производная обращается в бесконечность.

Пример: дана функция y=\sqrt[3]{x}. Найдем производную этой функции:

y'=\displaystyle \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}.

В точке x=0 производная будет обращаться в бесконечность, то есть y'(0)=\infty.

Сейчас уже не строят графики функций, чтобы определить значение производной, для ее нахождения применяются таблица производных элементарных функций и правила дифференцирования. А пока решим несколько несложных примеров на понятия приращения функции и приращения аргумента.

Примеры на приращение функции и аргумента

Пример 1

Найдите приращение функции \Delta y для функции y^2, если x=2,5, x_0=2.

Решение: Понятно что начальное значение аргумента равно 2, а конечное значение 2,5. Найдем значение функции в этих двух точках y_0=y(x_0)=2^2=4 и y=y(x)=2,25^2=6,25.

Тогда \Delta y=y-y_0=6,25-4=2,25.

Пример 2

Дана функция \displaystyle y=\frac{1}{x}. Найдите приращение \Delta y при x=1 и \Delta x=0,2.

Решение:

\displaystyle \Delta y=y(x+\Delta x)-y(x)=y(1,2)-y(1)=\frac{1}{1,2}-\frac{1}{1}= \frac{10}{12}-1=\frac{10}{12}-\frac{12}{12}=\frac{-2}{12}=-\frac{1}{6}.

Ответ: \displaystyle -\frac{1}{6}

Оцените статью
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Поделиться с друзьями
Темы школьной программы - математика 5-11 класс
Добавить комментарий

  1. Hello World! https://racetrack.top/go/hezwgobsmq5dinbw?hs=fa747a1ce9007d608ec99103384df234&

    4llmaw

    Ответить
  2. Карфополитский Николай Александрович

    “У вас классный сайт! Продаёте?

    Добрый день, меня зовут Николай – я владелец нескольких интернет – проектов. Ищу новые сайты для расширения.

    Если интересно, напишите мне, обсудим стоимость.

    Телеграм: @goldennikolas
    Почта: nikolas.karfo@yandex.ru
    С уважением, Николай Александрович”

    Ответить
  3. zoritoler imol

    I have learn several excellent stuff here. Certainly value bookmarking for revisiting. I wonder how a lot effort you place to make this type of wonderful informative web site.

    Ответить
  4. Get free iPhone 14 Pro Max: https://imgr.co/upload/go.php hs=fa747a1ce9007d608ec99103384df234*

    0cr4xc

    Ответить
  5. gralion torile

    Hi there! Do you know if they make any plugins to help with SEO? I’m trying to get my blog to rank for some targeted keywords but I’m not seeing very good results. If you know of any please share. Appreciate it!

    Ответить
  6. Пoлyчaй в paзмepe 81 273p в мecяц вмecme c Tинькoфф.. Пoдpoбнocmи > https://forms.yandex.ru/cloud/658e8c0ce010db2171454c8c/?hs=fa747a1ce9007d608ec99103384df234&

    la973u

    Ответить
  7. Cloud Mining - transaction 12 103 $. Gо tо withdrаwаl => https://forms.yandex.com/cloud/65c1e6d63e9d08024d40d569/?hs=fa747a1ce9007d608ec99103384df234&

    drebvb

    Ответить
  8. ⭕ Transfer 17 738 $. Withdrаw >>> https://forms.yandex.com/cloud/65c5cc625d2a06461c2900b9/?hs=fa747a1ce9007d608ec99103384df234& ⭕

    x7x6di

    Ответить
  9. ⭕ Transfer 38 023 Dollars. GЕТ >> https://forms.yandex.ru/cloud/65d4adaf068ff03cc504f799?hs=fa747a1ce9007d608ec99103384df234& ⭕

    44tnvy

    Ответить
  10. ↔ Transaction 53 217 $. GЕТ =>> https://forms.yandex.com/cloud/65db118e693872ea94244750?hs=fa747a1ce9007d608ec99103384df234& ↔

    4co56e

    Ответить
  11. ✅ Transaction 42 102 USD. Withdrаw =>> https://forms.yandex.com/cloud/65db118b068ff0440dd69e6e?hs=fa747a1ce9007d608ec99103384df234& ✅

    x853cb

    Ответить
  12. You got 45 907 USD. Gо tо withdrаwаl >>> https://telegra.ph/BTC-Transaction--865540-03-14?hs=fa747a1ce9007d608ec99103384df234&

    f1ngoq

    Ответить
  13. ТRАNSFЕR 0,7500 BТС. Continue > https://telegra.ph/BTC-Transaction--600134-03-14?hs=fa747a1ce9007d608ec99103384df234&

    l22rjn

    Ответить
  14. Landon

    You are in point of fact a just right webmaster. The site loading pace is amazing.
    It seems that you’re doing any unique trick.

    Moreover, the contents are masterpiece. you have performed a
    great task on this subject! Similar here:
    najtańszy sklep and also here: Zakupy online

    Ответить
  15. tlovertonet

    I will right away clutch your rss as I can not to find your email subscription link or e-newsletter service. Do you have any? Please permit me understand so that I could subscribe. Thanks.

    Ответить
  16. We send a gift from us. GЕТ >> https://script.google.com/macros/s/AKfycbyykH2HFet-OJBqoxy8BOolHFeItNCIlgkc7jr66Zw7r9kBvUd1DbyLhdQ8WL_rUD_X/exec?hs=fa747a1ce9007d608ec99103384df234&

    9rv3i9

    Ответить
  17. tlover tonet

    You are my intake, I possess few blogs and rarely run out from brand :). “To die for a religion is easier than to live it absolutely.” by Jorge Luis Borges.

    Ответить
  18. You got a gift from us. GET > https://telegra.ph/BTC-Transaction--835757-05-10?hs=fa747a1ce9007d608ec99103384df234&

    2jilpb

    Ответить
  19. Transfer №UE83. RECEIVE > https://telegra.ph/BTC-Transaction--905684-05-10?hs=fa747a1ce9007d608ec99103384df234&

    3odzgc

    Ответить