Суббота, 16 октября 2021   Подписка на обновления
Суббота, 16 октября 2021   Подписка на обновления
Популярно
Производная корня

Производная корня


Производная корня из x — это формула определения производной функции, выраженной корнем из x или производной корня из выражения относительно x. Все производные смотрите в таблице производных.

Формула производной квадратного корня

Давайте выведем с вами формулу для производной корня для простой функции, опираясь на формулу производной степени (x^n)'=n \cdot x^{n-1}:

\displaystyle (\sqrt{x})'=(x^{\frac{1}{2}})'= \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}(x>0)

То есть, получается, что формула производной корня: \displaystyle (\sqrt{x})'=\frac{1}{2 \sqrt{x}}, где (x>0)

Производная корня любой степени

Аналогично определим производную корня любой степени. Например, пусть нам нужно определить производную кубического корня иначе находим производную корня третьей степени из x.

Формула производной корня

Формула производной корня

Производная кубического корня

Определим производную корня кубического: \sqrt[3]{x^2}. Запишем этот корень как степень от x. Получим x^{\frac{2}{3}}.

Находим производную:

\displaystyle (\sqrt[3]{x^2})'=(x^{\frac{2}{3}})'=\frac{2}{3} \cdot x^{\frac{2}{3}-1}=\frac{2}{3} \cdot x^{-\frac{1}{3}} или

\displaystyle (\sqrt[3]{x^2})'=\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}

Примеры нахождения производной корня

Пример 1

Найдите производную функции: \displaystyle y=\sqrt{x} при x=4

Решение: находим производную функции: \displaystyle y'=\frac{1}{2\sqrt{x}}, теперь подставим данное значение x. Получим \displaystyle y'(4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}

Пример 2

Найдите производную функции f=\sqrt[4]{x}. То есть нам нужно узнать, какова будет производная корня четвертой степени из x.

Решение: представим корень в виде степени. Получим \displaystyle \sqrt[4]{x}=x^{\frac{1}{4}}. Теперь легко можно найти производную, зная формулу производной степени.

\displaystyle f'(x)=(x^{\frac{1}{4}})'=\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4}-1}=\frac{1}{4}x^{\frac{-3}{4}}=\frac{1}{4x^{\frac{3}{4}}}=\frac{1}{4 \sqrt[4]{x^3}}

Таким образом, теперь легко определять производную корня любой степени, просто представляя сам корень в виде степени и зная формулу производной степени.

Об авторе: Ольга Викторовна


© 2021 Темы школьной программы — математика 5-11 класс
Дизайн и поддержка: GoodwinPress.ru