Пятница, 17 сентября 2021   Подписка на обновления
Пятница, 17 сентября 2021   Подписка на обновления
Популярно
Таблица производных и правила дифференцирования функций

Таблица производных и правила дифференцирования функций


Таблица производных в алгебре нужна для решения целого ряда различных прикладных задач. Поскольку смысл производной иначе интерпретируется как «скорость изменения», то, каждый раз, беря производную, мы находим величину на ступеньку более «быструю», чем та, от которой мы берем производную. Например, беря производную от y(x) по x, мы фактически находим скорость изменения координаты y в зависимости от изменения координаты x, а беря производную от скорости изменения координаты y в зависимости от координаты x, мы находим ускорение.

Что такое производная функции

Например, при использовании производной в физике, мы знаем, что производная расстояния s по времени — это скорость. Потому что скорость — это величина, характеризующая быстроту изменения расстояния в зависимости от времени. А производная скорости — ничто иное как ускорение, так как ускорение — это величина, характеризующая быстроту изменения скорости.
Поскольку производная находится по формуле: \displaystyle f^\prime(x)\ =\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}, то бесконечное количество различных функций усложняют задачу дифференцирования, так как удобно функцию, которую можно представить из различных элементарных функций, дифференцировать основываясь на уже выведенных выражениях для производных этих элементарных функций.

Характеристика производной и ее смысл
Производная характеризует быстроту изменения функции в зависимости от изменения аргумента.

Таблица производных

Таким образом, чтобы работать с производными, необходима таблица производных элементарных функций. Руководствуясь этой таблицей, можно взять производную от какой угодно функции. Но прежде чем работать с таблицей — нужно знать как брать производную функции, есть определенные правила дифференцирования, которые представим в таблице.

Правила дифференцирования

№ правила Название правила Правило дифференцирования
1 Производная постоянной величины C^\prime= 0, С-постоянная
2 Производная суммы (u+v-w)^\prime= u ^\prime +v ^\prime -w^\prime.
3 Производная произведения постоянной на функцию (C \cdot u)' = C \cdot u', С — постоянная
4 Производная переменной x (x)' = 1
5 Производная произведения двух функций (uv)' = u'v+uv'
6 Производная деления двух функций \displaystyle (\frac{u}{v})' = \frac{u'v-v'u}{v^2}
7 Производная сложной функции y{}'_x = y{}'_u \cdot u{}'_x

Таблица производных простых и сложных функций

Теперь таблица производных для элементарных и для сложных функций.

Номер формулы Название производной Основные элементарные функции Сложные функции
1 Производная натурального логарифма по x (ln (x))' = \frac{1}{x} (ln(u))' = \frac{1}{u}u'
2 Производная логарифмической функции по основанию a \displaystyle (log(x)_a)' = \frac{1}{x \cdot ln a} \displaystyle (log(u)_a)' = \frac{1}{u \cdot ln a}u'
3 Производная по x в степени n (x^n)' = n x^{n-1} (u^n)' = n u^{n-1}u'
4 Производная квадратного корня (\sqrt {x})' = \frac{1}{2 \sqrt{x}} (\sqrt {u})' = \frac{1}{2 \sqrt{u}}u'
5 Производная a в степени x \displaystyle (a^x)' = a^x \cdot ln a \displaystyle (a^u)' = a^u \cdot ln u \cdot u'
6 Производная e в степени x (e^x)' = e^x (e^u)' = e^u \cdot u'
7 Производная синуса (\sin {x})' = \cos{x} (\sin {u})' = \cos{u} \cdot u'
8 Производная косинуса (\cos {x})' = -\sin{x} (\cos {u})' = -\sin{u} \cdot u'
9 Производная тангенса (\tan {x})' = \frac{1}{\cos^2{x}} (\tan {u})' = \frac{1}{\cos^2{u}} \cdot u'
10 Производная котангенса (ctg {x})' = -\frac{1}{\sin^2{x}} (ctg {u})' = -\frac{1}{\sin^2{u}} \cdot u'
11 Производная арксинуса (arcsin {x})' = \frac{1}{\sqr{1-x^2}} (arcsin {u})' = \frac{u'}{\sqr{1-u^2}}
12 Производная арккосинуса (arccos {x})' = -\frac{1}{\sqr{1-x^2}} (arccos {u})' = -\frac{u'}{\sqr{1-u^2}}
13 Производная арктангенса (arctg {x})' = \frac{1}{1+x^2} (arctg {u})' = \frac{u'}{1+u^2}
14 Производная арккотангенса (arcctg {x})' = -\frac{1}{1+x^2} (arcctg {u})' = -\frac{u'}{1+u^2}

Примеры нахождения производных

Пример 1

Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найти производную функции: y=x^2-5x+4.

Решение: y'=(x^2-5x+4)'=(x^2)'-(5x)'+(4)'

Мы использовали правило 2 дифференцирования суммы. Теперь найдем производную каждого слагаемого:

(x^2)'=2x По формуле 3 «производная по x в степени n» (у нас в степени 2).

(5x)'=5 По правилам дифференцирования 3 и 4.

(4)'=0 По первому правилу дифференцирования «производная постоянной равна нулю»

Итак, получим: y'=2x-5.

Пример 2

Найти производную функции y=\frac{2x}{3x+5}

Решение:

Находим производную, пользуясь правилам дифференцирования 6.

    \[y'=\frac{(2x)'(3x+5)-2x(3x+5)'}{(3x+5)^2}\]

    \[y'=\frac{2(3x+5)-2x \cdot 3}{(3x+5)^2}\]

    \[y'=\frac{6x+10-6x}{(3x+5)^2}\]

    \[y'=\frac{10}{(3x+5)^2}\]

Ответ:

    \[y'=\frac{10}{(3x+5)^2}\]

Пример 3

Найти производную функции y=cosx

Решение: здесь все просто, мы возьмем производную из таблицы производных.

y'=-sin x

Ответ: y'=-sin x

Пример 4

Найдите производную функции y=cos(5x+7)

Решение: Здесь мы уже имеем не простую функцию, а сложную функцию и брать производную мы будем по формуле 8 таблицы производных для сложных функций.

    \[y'=cos'(5x+7) \cdot (5x+7)'\]

    \[y'=-sin(5x+7) \cdot 5=-5sin(5x+7)\]

Ответ:

    \[y'=-5sin(5x+7)\]

Пример 5

Пользуясь правилами дифференцирования и таблицей производных, найдите производную функции y=\sqrt{2x^2+5x+4}

Решение: У нас сложная функция, так как под корнем стоит не просто x, а квадратная функция.

То есть мы имеем функцию вида y=\sqrt{u(x)}.

Возьмем производную этой функции:

    \[y'=\frac{(2x^2+5x+4)'}{2 \sqrt{2x^2+5x+4}}\]

    \[y'=\frac{4x+5}{2 \sqrt{2x^2+5x+4}}\]

Ответ:

    \[y'=\frac{4x+5}{2 \sqrt{2x^2+5x+4}}\]

Пример 6

Найдите скорость тела, если траектория его движения задана уравнением x(t)=3t+4 м

Решение: скорость тела — это первая производная траектории по времени: v(t)=x'(t). м/с.

Находим скорость тела:

    \[v(t)=(3t+4)'\]

    \[v(t)=3\]

Ответ: 3 м/с.

Итак, таблица производных и правила дифференцирования дают возможность легко брать производные и простых, и сложных функций.

Об авторе: Ольга Викторовна


© 2021 Темы школьной программы — математика 5-11 класс
Дизайн и поддержка: GoodwinPress.ru