Таблица производных и правила дифференцирования функций

Таблица производных в алгебре нужна для решения целого ряда различных прикладных задач. Поскольку смысл производной иначе интерпретируется как “скорость изменения”, то, каждый раз, беря производную, мы находим величину на ступеньку более “быструю”, чем та, от которой мы берем производную. Например, беря производную от y(x) по x, мы фактически находим скорость изменения координаты y в зависимости от изменения координаты x, а беря производную от скорости изменения координаты y в зависимости от координаты x, мы находим ускорение.

Содержание

Что такое производная функции

Например, при использовании производной в физике, мы знаем, что производная расстояния s по времени – это скорость. Потому что скорость – это величина, характеризующая быстроту изменения расстояния в зависимости от времени. А производная скорости – ничто иное как ускорение, так как ускорение – это величина, характеризующая быстроту изменения скорости.
Поскольку производная находится по формуле: $\displaystyle f^\prime(x)\ =\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ , то бесконечное количество различных функций усложняют задачу дифференцирования, так как удобно функцию, которую можно представить из различных элементарных функций, дифференцировать основываясь на уже выведенных выражениях для производных этих элементарных функций.

Характеристика производной и ее смысл

Производная характеризует быстроту изменения функции в зависимости от изменения аргумента.

Таблица производных

Таким образом, чтобы работать с производными, необходима таблица производных элементарных функций. Руководствуясь этой таблицей, можно взять производную от какой угодно функции. Но прежде чем работать с таблицей – нужно знать как брать производную функции, есть определенные правила дифференцирования, которые представим в таблице.

Правила дифференцирования

№ правила	Название правила	Правило дифференцирования
1	Производная постоянной величины	$C^\prime= 0$ , С-постоянная
2	Производная суммы	$(u+v-w)^\prime= u ^\prime +v ^\prime -w^\prime$ .
3	Производная произведения постоянной на функцию	$(C \cdot u)' = C \cdot u'$ , С – постоянная
4	Производная переменной x	$(x)' = 1$
5	Производная произведения двух функций	$(uv)' = u'v+uv'$
6	Производная деления двух функций	$\displaystyle (\frac{u}{v})' = \frac{u'v-v'u}{v^2}$
7	Производная сложной функции	$y{}'_x = y{}'_u \cdot u{}'_x$

Таблица производных простых и сложных функций

Теперь таблица производных для элементарных и для сложных функций.

Номер формулы	Название производной	Основные элементарные функции	Сложные функции
1	Производная натурального логарифма по x	$(ln (x))' = \frac{1}{x}$	$(ln(u))' = \frac{1}{u}u'$
2	Производная логарифмической функции по основанию a	$\displaystyle (log(x)_a)' = \frac{1}{x \cdot ln a}$	$\displaystyle (log(u)_a)' = \frac{1}{u \cdot ln a}u'$
3	Производная по x в степени n	$(x^n)' = n x^{n-1}$	$(u^n)' = n u^{n-1}u'$
4	Производная квадратного корня	$(\sqrt {x})' = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$	$(\sqrt {u})' = \frac{1}{2 \sqrt{u}}u'$
5	Производная a в степени x	$\displaystyle (a^x)' = a^x \cdot ln a$	$\displaystyle (a^u)' = a^u \cdot ln u \cdot u'$
6	Производная e в степени x	$(e^x)' = e^x$	$(e^u)' = e^u \cdot u'$
7	Производная синуса	$(\sin {x})' = \cos{x}$	$(\sin {u})' = \cos{u} \cdot u'$
8	Производная косинуса	$(\cos {x})' = -\sin{x}$	$(\cos {u})' = -\sin{u} \cdot u'$
9	Производная тангенса	$(\tan {x})' = \frac{1}{\cos^2{x}}$	$(\tan {u})' = \frac{1}{\cos^2{u}} \cdot u'$
10	Производная котангенса	$(ctg {x})' = -\frac{1}{\sin^2{x}}$	$(ctg {u})' = -\frac{1}{\sin^2{u}} \cdot u'$
11	Производная арксинуса	$(arcsin {x})' = \frac{1}{\sqr{1-x^2}}$	$(arcsin {u})' = \frac{u'}{\sqr{1-u^2}}$
12	Производная арккосинуса	$(arccos {x})' = -\frac{1}{\sqr{1-x^2}}$	$(arccos {u})' = -\frac{u'}{\sqr{1-u^2}}$
13	Производная арктангенса	$(arctg {x})' = \frac{1}{1+x^2}$	$(arctg {u})' = \frac{u'}{1+u^2}$
14	Производная арккотангенса	$(arcctg {x})' = -\frac{1}{1+x^2}$	$(arcctg {u})' = -\frac{u'}{1+u^2}$

Примеры нахождения производных

Пример 1

Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найти производную функции: $y=x^2-5x+4$ .

Решение: $y'=(x^2-5x+4)'=(x^2)'-(5x)'+(4)'$

Мы использовали правило 2 дифференцирования суммы. Теперь найдем производную каждого слагаемого:

$(x^2)'=2x$ По формуле 3 “производная по x в степени n” (у нас в степени 2).

$(5x)'=5$ По правилам дифференцирования 3 и 4.

$(4)'=0$ По первому правилу дифференцирования “производная постоянной равна нулю”

Итак, получим: $y'=2x-5$ .

Пример 2

Найти производную функции $y=\frac{2x}{3x+5}$

Решение:

Находим производную, пользуясь правилам дифференцирования 6.

$y'=\frac{(2x)'(3x+5)-2x(3x+5)'}{(3x+5)^2}$

$y'=\frac{2(3x+5)-2x \cdot 3}{(3x+5)^2}$

$y'=\frac{6x+10-6x}{(3x+5)^2}$

$y'=\frac{10}{(3x+5)^2}$

Ответ:

$y'=\frac{10}{(3x+5)^2}$

Пример 3

Найти производную функции $y=cosx$

Решение: здесь все просто, мы возьмем производную из таблицы производных.

$y'=-sin x$

Ответ: $y'=-sin x$

Пример 4

Найдите производную функции $y=cos(5x+7)$

Решение: Здесь мы уже имеем не простую функцию, а сложную функцию и брать производную мы будем по формуле 8 таблицы производных для сложных функций.

$y'=cos'(5x+7) \cdot (5x+7)'$

$y'=-sin(5x+7) \cdot 5=-5sin(5x+7)$

Ответ:

$y'=-5sin(5x+7)$

Пример 5

Пользуясь правилами дифференцирования и таблицей производных, найдите производную функции $y=\sqrt{2x^2+5x+4}$

Решение: У нас сложная функция, так как под корнем стоит не просто $x$ , а квадратная функция.

То есть мы имеем функцию вида $y=\sqrt{u(x)}$ .

Возьмем производную этой функции:

$y'=\frac{(2x^2+5x+4)'}{2 \sqrt{2x^2+5x+4}}$

$y'=\frac{4x+5}{2 \sqrt{2x^2+5x+4}}$

Ответ:

$y'=\frac{4x+5}{2 \sqrt{2x^2+5x+4}}$

Пример 6

Найдите скорость тела, если траектория его движения задана уравнением $x(t)=3t+4$ м

Решение: скорость тела – это первая производная траектории по времени: $v(t)=x'(t)$ . м/с.

Находим скорость тела:

$v(t)=(3t+4)'$

$v(t)=3$

Ответ: 3 м/с.

Итак, таблица производных и правила дифференцирования дают возможность легко брать производные и простых, и сложных функций.

Добавить комментарий

Sergnup 01.03.2024 в 06:07

[url=http://zmkshop.ru/novosti/noginskim-zavodom-metallokonstruktsiy-vypolneno-izgotovlenie-metallokonstruktsiy-zagorodnogo-doma-/]хозблок металлический сборный[/url]

Ответить
Ronaldaxold 30.03.2024 в 10:53

FlipBooks are a great addition
to any passive income strategy. Because once you create a FlipBook, market it, share it & Earn it, it can technically sell itself.

Learn More https://www.youtube.com/watch?v=JfRrd79oCfk?18404

Ответить
tlovertonet 01.05.2024 в 16:36

Hey! I’m at work browsing your blog from my new iphone! Just wanted to say I love reading your blog and look forward to all your posts! Carry on the fantastic work!

Ответить
tlovertonet 16.06.2024 в 12:38

Generally I do not read article on blogs, however I would like to say that this write-up very compelled me to check out and do so! Your writing style has been amazed me. Thanks, very nice article.

Ответить
Concepcion 01.07.2024 в 20:34

hello there and thank you for your info – I have definitely picked up
something new from right here. I did however expertise a few technical
issues using this web site, since I experienced to reload
the website lots of times previous to I could get it to load properly.
I had been wondering if your web hosting is OK? Not that I am complaining, but sluggish loading instances times will often affect your placement in google and could damage
your high-quality score if advertising and marketing with
Adwords. Anyway I’m adding this RSS to my e-mail and can look out
for much more of your respective intriguing content.
Make sure you update this again very soon.. Escape room

Ответить
Tiffiny 03.07.2024 в 03:58

You actually make it appear so easy with your presentation however I in finding this matter to be really something which I feel I would never understand.
It sort of feels too complicated and extremely wide for
me. I am looking forward to your next put up, I’ll try to get
the dangle of it! Escape rooms hub

Ответить
официальное казино онлайн 17.09.2024 в 18:06

На странице представлено большое количество онлайн казино с различными бонусами. Каждый найдет для себя что-то подходящее. Кэшбэк и фриспины, увеличение депозита и многое другое! На сайте представлены такие казино как: 1GO, LEX, DRIP, VOLNA, MONRO, IZZI, STARDA, FRESH, ROX, LEGZO, JET, SOL Также, не упустите возможность попытать удачу в на эксклюзивных платформах : KOMETA, DADDY, GAMA, R7, KENT, CAT Все казино аккредитованы и имеют лицензию. Вывод на карту от 5 минут до 12 часов в зависимости от выбранного Вами казино. Онлайн казино не требует подтверждения личности по документам и дает возможность заводить несколько аккаунтов. Самые лояльные казино в списке – новые слоты mgxuftgjpv

Ответить