Многочлены и виды многочленов, стандартный вид многочлена

Что такое многочлены? Познакомимся с этим понятием из курса математики 7 класс. Мы с вами дадим определение многочленам, рассмотрим какие выражения можно назвать многочленами, а какие нельзя. Разберем что такое многочлен стандартного вида и степень многочлена и решим несколько примеров на определение степени многочлена и приведение подобных слагаемых.

Содержание

Определение многочлена

Многочленом называют алгебраическую сумму одночленов. То есть многочлен – это алгебраическое выражение, которое записывается в виде суммы одночленов.

Пример многочлена: $2x^2+3y+5xy+6$ .

Неправильно

Как отличить многочлен от не многочлена – обратите внимание на варианты неправильного называния не многочлена многочленом:

Неправильно называть многочленом дробь, например, дробь $\frac{y}{3x-4y}$ не является многочленом. Так как многочлен – это сумма одночленов.
Неправильно называть многочленом произведение, например: $2xy \cdot (3x+y)$ – не является многочленом, но из этого выражения путем преобразований можно получить многочлен.

Виды многочленов

Среди многочленов выделяют следующие виды многочлены:

Многочлен состоящий из одного одночлена называется одночленом.
Многочлен, состоящий из двух одночленов, называется двучленом или биномом.
Многочлен, состоящий из трех одночленов, называется трехчленом.

Это стандартные называния таких многочленов, многочлен, состоящий из любого произвольного числа одночленов, большего трех, называется просто многочленом.

Стандартный вид многочлена

Если все входящие в многочлен одночлены имеют стандартный вид и в многочлене приведены подобные слагаемые, то такой многочлен называется многочленом стандартного вида.

Приведем пример: выражение $2ax+3by-3cz+3$ является многочленом стандартного вида.

Степень многочлена

Чтобы определить степень многочлена нужно найти одночлен с наибольшей степенью, входящий в его состав. Например, в многочлене $3x+4x^2 y+5x^2y^3+6y^3$ наибольшая степень у одночлена $5x^2 y^3$ , у которого степень 5. Таким образом, и многочлен будет пятой степени.

Сложение подобных слагаемых

Сумму подобных членов многочлена можно заменить одним членом, если сложить их числовые коэффициенты и оставить буквенную часть. Такое сложение или, иначе, тождественное преобразование, называют приведением подобных слагаемых.

Приведем пример: в многочлене $5a^2+7ab+8a^2-9ab$ можно сложить подобные слагаемые $5a^2+8a^2$ и $7ab-9ab$ , тогда мы получим: $13a^2$ и $-2ab$ .

Многочлен можно записать в виде $5a^2+7ab+8a^2-9ab=13^2-2ab$

Примеры решения задач

Задание 1

Определите степень многочлена $7x^2+65xy+7y^3$ .

Решение: наибольшая степень у одночлена $7y^3$ , значит, степень многочлена – 3.

Задание 2

Приведите подобные слагаемые многочлена: $\underline{a^4} + \underline{\underline{-3a^2}}+ \underline{\underline{5a^2}}+ \underline{-a^4}$ .

Решение: сложим слагаемые одинаковой степени, это $a^4$ и $-a^4$ , а также сложим $-3a^2$ и $5a^2$ . Подчеркнем подобные слагаемые одинаковыми чертами. Получаем, $\underline{a^4} + \underline{\underline{-3a^2}}+ \underline{\underline{5a^2}}+ \underline{-a^4}=2a^2$ .

Ответ: $2a^2$ .

Задание 3

Приведите подобные члены многочлена:

$x^4+a^2-6x^4+7a^2$ .

Решение: выделим подобные слагаемые и сложим их: $\underline{x^4}+\underline{\underline{a^2}}-\underline{6x^4}+\underline{\underline{7a^2}}=(\underline{x^4}-\underline{6x^4})+(\underline{\underline{a^2}}+\underline{\underline{7a^2}})=-5x^4+8a^2$ .

Ответ: $-5x^4+8a^2$ .

Задание 4

Приведите подобные члены многочлена:

$3y^3-ab+8y^3+9ab$ .

Решение: подчеркнем подобные слагаемые и выполним сложение: $\underline{3y^3}- \underline{\underline{ab}}+\underline{8y^3}+\underline{\underline{9ab}}=11y^3+8ab$ .