Рассмотрим свойства степеней, которые проявляет степень при умножении, делении, возведении в степень и приведем примеры на свойства степени с натуральным показателем. Свойства степеней начинают изучать в 7 классе, повторяя их в 8 классе. Это очень важная тема для изучения, если вы ее хорошо поймете и выучите, то вам будет легко выполнить задание 9 в ЕГЭ по математике профильного уровня — там часто есть задания на свойство степеней. Некоторые из них мы рассмотрим в этой теме.
Содержание
Свойства степеней
Умножение степеней
При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остается прежним:
, где
.
Пример: .
Деление степеней
При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остается прежним:
, где
.
Пример деления степеней: ,
.
Возведение степени в степень
При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остается прежним:
, где
.
Рассмотрим пример возведения в степень: .
Степень произведения
Степень произведения равна произведению степеней множителей:
, где
.
Пример: .
Степень частного
Степень частного равна частному степеней делимого и делителя:
, где
,
.
Пример: .
Примеры с решениями
Пример 1
Найдите значение выражения: .
Решение: Согласно свойству степеней произведения представим число 14 в виде произведения чисел 2 и 7, получим: , тогда
.
Пример 2
Запишите в виде степени с основанием a выражение: .
Решение: Используя свойство возведения в степень, получим: .
Пример 3
Найдите значение выражения .
Решение:
Пример 4
Представить степень в виде произведения степеней.
Решение: , тогда
.
Пример 5
Найдите значение выражения .
Решение: возведем произведение в числителе в степень 21:
Применяя свойства степеней можно значительно упростить вычисления.