Суббота, 16 октября 2021   Подписка на обновления
Суббота, 16 октября 2021   Подписка на обновления
Популярно
Свойства степеней с натуральным показателем

Свойства степеней с натуральным показателем


Рассмотрим свойства степеней, которые проявляет степень при умножении, делении, возведении в степень и приведем примеры на свойства степени с натуральным показателем. Свойства степеней начинают изучать в 7 классе, повторяя их в 8 классе. Это очень важная тема для изучения, если вы ее хорошо поймете и выучите, то вам будет легко выполнить задание 9 в ЕГЭ по математике профильного уровня — там часто есть задания на свойство степеней. Некоторые из них мы рассмотрим в этой теме.

Свойства степеней

Умножение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остается прежним:

\displaystyle a^m \cdot a^n=a^{m+n},  где m,n  \in N.

Пример: \displaystyle a^4 \cdot a^ 5=a^{4+5}=a^9.

Деление степеней

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остается прежним:

\displaystyle a^m : a^n=a^{m-n},  где m,n  \in N.

Пример деления степеней: \displaystyle 3^5:3^4=3^{5-4}=3^1=3,   \displaystyle \frac{4^6}{4^4}=4^{6-4}=4^2=16.

Возведение степени в степень

При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остается прежним:

\displaystyle (a^m)^n=a^{mn}, где m,n  \in N.

Рассмотрим пример возведения в степень: \displaystyle (a^6)^4=a^{6 \cdot 4}=a^{24}.

Степень произведения

Степень произведения равна произведению степеней множителей:

\displaystyle (abc)^m=a^m b^m c^m, где m \in N.

Пример: \displaystyle (k \cdot l)^3=k^3 \cdot l^3.

Степень частного

Степень частного равна частному степеней делимого и делителя:

\displaystyle (\frac{a}{b})^m=\frac{a^m}{b^m}, где \displaystyle b \neq 0\displaystyle k \in N.

Пример: \displaystyle (\frac{a}{b})^7=\frac{a^7}{b^7}.

Примеры с решениями

Пример 1

Найдите значение выражения: \displaystyle \frac{14^{10}}{2^8 \cdot 7^9}.

Решение: Согласно свойству степеней произведения представим число 14 в виде произведения чисел 2 и 7, получим: 14^{10}=2^{10} \cdot 7^{10}, тогда \displaystyle \frac{2^{10} \cdot 7^{10}}{2^8 \cdot 7^9}=\frac{2^{10}}{2^8} \cdot \frac{7^{10}}{7^9}=2^{10-8} \cdot 7^{10-9}=2^2 \cdot 7=4 \cdot 7=28.

Пример 2

Запишите в виде степени с основанием a выражение: \displaystyle (a^3)^4.

Решение: Используя свойство возведения в степень, получим: \displaystyle a^{3 \cdot 4}=a^{12}.

Пример 3

Найдите значение выражения \displaystyle \frac{12^5}{2^3 \cdot 3^4}.

Решение:

\displaystyle \frac{12^5}{2^3 \cdot 3^4}=\frac{(4 \cdot 3)^5}{2^3 \cdot 3^4}=\frac{2^{10} \cdot 3^5}{2^3 \cdot 3^4} = \frac{2^{10}}{2^3} \cdot \frac{3^5}{3^4}=2^{10-3} \cdot 3^{5-4}= \\  \\ =2^7 \cdot 3^1=3 \cdot 2^7=3 \cdot 128=384

Пример 4

Представить степень 26^5 в виде произведения степеней.

Решение: 26=2 \cdot 13, тогда 26^5=(2 \cdot 13)^5=2^5 \cdot 13^5.

Пример 5

Найдите значение выражения \displaystyle \frac{(2^{\frac{4}{7}} \cdot 3^{\frac{2}{3}})^{21}}{6^{12}}.

Решение: возведем произведение в числителе в степень 21:

\displaystyle \frac{2^{12} \cdot 3^{14}}{6^{12}} = \frac{2^{12} \cdot 3^{14}}{2^{12} \cdot 3^{12}}=2^{12-12} \cdot 3^{14-12}=2^0 \cdot 3^2=1 \cdot 9=9

Применяя свойства степеней можно значительно упростить вычисления.

Об авторе: Ольга Викторовна


© 2021 Темы школьной программы — математика 5-11 класс
Дизайн и поддержка: GoodwinPress.ru