Свойства степеней с натуральным показателем

Рассмотрим свойства степеней, которые проявляет степень при умножении, делении, возведении в степень и приведем примеры на свойства степени с натуральным показателем. Свойства степеней начинают изучать в 7 классе, повторяя их в 8 классе. Это очень важная тема для изучения, если вы ее хорошо поймете и выучите, то вам будет легко выполнить задание 9 в ЕГЭ по математике профильного уровня — там часто есть задания на свойство степеней. Некоторые из них мы рассмотрим в этой теме.

Содержание

Свойства степеней

Умножение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остается прежним:

$\displaystyle a^m \cdot a^n=a^{m+n}$ , где $m,n \in N$ .

Пример: $\displaystyle a^4 \cdot a^ 5=a^{4+5}=a^9$ .

Деление степеней

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остается прежним:

$\displaystyle a^m : a^n=a^{m-n}$ , где $m,n \in N$ .

Пример деления степеней: $\displaystyle 3^5:3^4=3^{5-4}=3^1=3$ , $\displaystyle \frac{4^6}{4^4}=4^{6-4}=4^2=16$ .

Возведение степени в степень

При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остается прежним:

$\displaystyle (a^m)^n=a^{mn}$ , где $m,n \in N$ .

Рассмотрим пример возведения в степень: $\displaystyle (a^6)^4=a^{6 \cdot 4}=a^{24}$ .

Степень произведения

Степень произведения равна произведению степеней множителей:

$\displaystyle (abc)^m=a^m b^m c^m$ , где $m \in N$ .

Пример: $\displaystyle (k \cdot l)^3=k^3 \cdot l^3$ .

Степень частного

Степень частного равна частному степеней делимого и делителя:

$\displaystyle (\frac{a}{b})^m=\frac{a^m}{b^m}$ , где $\displaystyle b \neq 0$ , $\displaystyle k \in N$ .

Пример: $\displaystyle (\frac{a}{b})^7=\frac{a^7}{b^7}$ .

Примеры с решениями

Пример 1

Найдите значение выражения: $\displaystyle \frac{14^{10}}{2^8 \cdot 7^9}$ .

Решение: Согласно свойству степеней произведения представим число 14 в виде произведения чисел 2 и 7, получим: $14^{10}=2^{10} \cdot 7^{10}$ , тогда $\displaystyle \frac{2^{10} \cdot 7^{10}}{2^8 \cdot 7^9}=\frac{2^{10}}{2^8} \cdot \frac{7^{10}}{7^9}=2^{10-8} \cdot 7^{10-9}=2^2 \cdot 7=4 \cdot 7=28$ .

Пример 2

Запишите в виде степени с основанием a выражение: $\displaystyle (a^3)^4$ .

Решение: Используя свойство возведения в степень, получим: $\displaystyle a^{3 \cdot 4}=a^{12}$ .

Пример 3

Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{12^5}{2^3 \cdot 3^4}$ .

Решение:

$\displaystyle \frac{12^5}{2^3 \cdot 3^4}=\frac{(4 \cdot 3)^5}{2^3 \cdot 3^4}=\frac{2^{10} \cdot 3^5}{2^3 \cdot 3^4} = \frac{2^{10}}{2^3} \cdot \frac{3^5}{3^4}=2^{10-3} \cdot 3^{5-4}= \\ \\ =2^7 \cdot 3^1=3 \cdot 2^7=3 \cdot 128=384$

Пример 4

Представить степень $26^5$ в виде произведения степеней.

Решение: $26=2 \cdot 13$ , тогда $26^5=(2 \cdot 13)^5=2^5 \cdot 13^5$ .

Пример 5

Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{(2^{\frac{4}{7}} \cdot 3^{\frac{2}{3}})^{21}}{6^{12}}$ .

Решение: возведем произведение в числителе в степень 21:

$\displaystyle \frac{2^{12} \cdot 3^{14}}{6^{12}} = \frac{2^{12} \cdot 3^{14}}{2^{12} \cdot 3^{12}}=2^{12-12} \cdot 3^{14-12}=2^0 \cdot 3^2=1 \cdot 9=9$