...

Свойства степеней с натуральным показателем

Свойство степеней с натуральным показателем АЛГЕБРА

Рассмотрим свойства степеней, которые проявляет степень при умножении, делении, возведении в степень и приведем примеры на свойства степени с натуральным показателем. Свойства степеней начинают изучать в 7 классе, повторяя их в 8 классе. Это очень важная тема для изучения, если вы ее хорошо поймете и выучите, то вам будет легко выполнить задание 9 в ЕГЭ по математике профильного уровня – там часто есть задания на свойство степеней. Некоторые из них мы рассмотрим в этой теме.

Свойства степеней

Умножение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остается прежним:

\displaystyle a^m \cdot a^n=a^{m+n},  где m,n  \in N.

Пример: \displaystyle a^4 \cdot a^ 5=a^{4+5}=a^9.

Деление степеней

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остается прежним:

\displaystyle a^m : a^n=a^{m-n},  где m,n  \in N.

Пример деления степеней: \displaystyle 3^5:3^4=3^{5-4}=3^1=3,   \displaystyle \frac{4^6}{4^4}=4^{6-4}=4^2=16.

Возведение степени в степень

При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остается прежним:

\displaystyle (a^m)^n=a^{mn}, где m,n  \in N.

Рассмотрим пример возведения в степень: \displaystyle (a^6)^4=a^{6 \cdot 4}=a^{24}.

Степень произведения

Степень произведения равна произведению степеней множителей:

\displaystyle (abc)^m=a^m b^m c^m, где m \in N.

Пример: \displaystyle (k \cdot l)^3=k^3 \cdot l^3.

Степень частного

Степень частного равна частному степеней делимого и делителя:

\displaystyle (\frac{a}{b})^m=\frac{a^m}{b^m}, где \displaystyle b \neq 0\displaystyle k \in N.

Пример: \displaystyle (\frac{a}{b})^7=\frac{a^7}{b^7}.

Примеры с решениями

Пример 1

Найдите значение выражения: \displaystyle \frac{14^{10}}{2^8 \cdot 7^9}.

Решение: Согласно свойству степеней произведения представим число 14 в виде произведения чисел 2 и 7, получим: 14^{10}=2^{10} \cdot 7^{10}, тогда \displaystyle \frac{2^{10} \cdot 7^{10}}{2^8 \cdot 7^9}=\frac{2^{10}}{2^8} \cdot \frac{7^{10}}{7^9}=2^{10-8} \cdot 7^{10-9}=2^2 \cdot 7=4 \cdot 7=28.

Пример 2

Запишите в виде степени с основанием a выражение: \displaystyle (a^3)^4.

Решение: Используя свойство возведения в степень, получим: \displaystyle a^{3 \cdot 4}=a^{12}.

Пример 3

Найдите значение выражения \displaystyle \frac{12^5}{2^3 \cdot 3^4}.

Решение:

\displaystyle \frac{12^5}{2^3 \cdot 3^4}=\frac{(4 \cdot 3)^5}{2^3 \cdot 3^4}=\frac{2^{10} \cdot 3^5}{2^3 \cdot 3^4} = \frac{2^{10}}{2^3} \cdot \frac{3^5}{3^4}=2^{10-3} \cdot 3^{5-4}= \\  \\ =2^7 \cdot 3^1=3 \cdot 2^7=3 \cdot 128=384

Пример 4

Представить степень 26^5 в виде произведения степеней.

Решение: 26=2 \cdot 13, тогда 26^5=(2 \cdot 13)^5=2^5 \cdot 13^5.

Пример 5

Найдите значение выражения \displaystyle \frac{(2^{\frac{4}{7}} \cdot 3^{\frac{2}{3}})^{21}}{6^{12}}.

Решение: возведем произведение в числителе в степень 21:

\displaystyle \frac{2^{12} \cdot 3^{14}}{6^{12}} = \frac{2^{12} \cdot 3^{14}}{2^{12} \cdot 3^{12}}=2^{12-12} \cdot 3^{14-12}=2^0 \cdot 3^2=1 \cdot 9=9

Применяя свойства степеней можно значительно упростить вычисления.

Оцените статью
( 6 оценок, среднее 4.5 из 5 )
Поделиться с друзьями
Темы школьной программы - математика 5-11 класс
Добавить комментарий

  1. Linnie

    Экранизация повести В. Войновича.
    1941 год. Накануне войны в селе Красное приземлился аэроплан, летчик, в связи с
    нештатной ситуацией, возникшей во
    время учений, принял решение о вынужденной посадке.
    Оставь технику без присмотра,
    хозяйственные жители растащат все до последней заклепки.
    Охранять оборудование присылают молодого солдата Ивана Чонкина.
    Он очень быстро перезнакомился с местным населением,
    а почтальонша Нюрка Беляшова пустила его к себе на постой.
    Сплетня мгновенно понеслась по всей
    деревне.
    22 июня все радиостанции Советского Союза объявили о
    начале войны, люди напуганы. Руководство призывает всех на митинг и,
    провозглашая речи, пытается навести порядок.
    Тем временем, баба Нюра –
    не промах, пришла в сельмаг и скупила спички, мыло и соль.
    Услышавшие об этом сельчане мчатся к магазину,
    начинается драка за мешок хозяйственной старушки.

    Успокоить драчунов удается только стрельбой из винтовки
    Ивана. Поделив бабкины
    покупки между собой, люди
    расходятся.
    По ложному доносу, Чонкина арестовывают, за ним приезжают оперуполномоченные НКВД.
    А что же дальше? Давайте смотреть.

    Feel free to visit my web blog :: t:110-s:1-e:1

    Ответить
  2. Lillian

    Заказать анализаторы влажности в РФ

    Ответить
  3. Jeremy

    Кчественные оборудование для анализа воды в РФ

    Ответить
  4. Mellisa

    Профессиональное оборудование для анализа воды
    по доступным ценам в России

    Ответить
  5. Gisele

    Hurrah, that’s what I was searching for, what a stuff!
    existing here at this weblog, thanks admin of this site.

    My web page – Понедельник начинается в субботу

    Ответить
  6. Margarette

    Мебель на кухне – главный элемент,
    к выбору которого необходимо подходить максимально ответственно.
    Поскольку готовые кухни
    имеют довольно высокую стоимость,
    важно знать тонкости их выбора.
    Многие принимают решение заказать
    кухни производитель казань по своим предпочтениям и чертежам.
    На что нужно обращаться внимание, заказывая такую кухню?

    Страна производитель
    Большинство компаний , занимающиеся
    изготовлением мебели, работают с одинаковым материалом.
    Наиболее распространенным материалом для кухонь считается ДСП.
    Деревянные панели обрабатываются стандартным
    образом и с применением одинакового
    оборудования. Заказывая кухню в зарубежной
    компании, покупатель попросту переплачивает
    большую сумму. Наилучшим вариантом станет приобретение мебели в компании , расположенной
    поблизости.

    Ответить
  7. Grant

    Семья это самое ценное, что может быть в
    жизни человека. Однако, как показывает нынешняя практика, судебных разбирательств
    именно между членами семьи, включительно с бракоразводными процессами,
    становится все больше . Именно потому, на данный
    момент достаточно востребованными являются услуги адвоката по семейным делам.
    Хороший семейный адвокат, постарается сделать все возможное, чтобы отстоять законные права своего
    клиента и поможет ему в решении любых конфликтных ситуаций.

    Зачем нужен адвокат семейным делам казань
    К большому сожалению, сегодня
    практически каждый человек рано или поздно сталкивается с
    таким видом правоотношений как семейные споры.
    Это обосновано тем, что к термину семейное право относятся не только законодательные
    нормативы, но также споры, которые касаются общепринятых моральных нормах и ценностях.
    Чаще всего к услугам адвоката по семейным делам прибегают во время рассмотрения таких дел:

    • Бракоразводный процесс;

    • Составление и подписание брачных контрактов
    и договоров;
    • Раздел имущества между супругами, пребывающими в браке или уже после развода;
    • Установление и распределение родительских обязанностей по
    отношению к совместным несовершеннолетним детям после развода супругов, а
    также порядка общения и проживания совместных
    детей с одним из родителей;
    • Порядок выплат по взысканию алиментов.

    Стоит отметить, что семейный адвокат, помимо своих непосредственных
    юридических обязанностей, также должен хоть отдаленно разбираться в психологии.
    Это обосновано тем, что профессиональная юридическая помощь заключается не только в разрешении судебных споров в пользу своего клиента, но также в регулировке конфликтов еще
    на досудебном этапе, чтобы сам процесс прошел
    менее эмоционально и болезненно для
    клиента.

    Ответить
  8. Isabella

    Комфортный, незабываемый отдых
    в база отдыха озеро парное официальный

    Ответить
  9. Пушистик

    Скажите, пожалуйста, что обозначает знак, как перевёрнутая Э

    Ответить
  10. Пушистик

    Скажите пожалуйста, что обозначает знак, как зеркальная Э?

    Ответить
  11. Chun

    Качественное, недорогое, профессиональное дубликаты номерных знаков

    Ответить
  12. Jeanett

    Купить недорого насадки для зубных щёток
    D.Fresh

    Ответить
  13. Alisa

    Профессиональное, качественное, недорогое такси новосибирск бийск

    Ответить
  14. Edgardo

    Быстрый Ремонт электроинструмента Минск в Минске

    Ответить
  15. Alfonzo

    Сервис поиска информации в телеграмм глаз бога
    бот

    Ответить
  16. Kristin

    Спортивные прогнозисты https://wiki2.org/ru/%D0%A2%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%84%D0%B5%D0%B5%D0%B2%D0%B0,_%D0%90%D0%BD%D0%BD%D0%B0_%D0%92%D0%B8%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0

    Ответить
  17. Christin

    Лучшие спортивные эксперты https://similars.net/alternatives-to/shopbet.ru

    Ответить
  18. Geri

    Прогнозы на спорт https://betcombo.ru/kappery/prognozy-na-sport-ot-kappera-oblepihabet.html

    Ответить
  19. Charline

    Блог о спортивной аналитике https://similars.net/sites-about/%D0%95%D0%B6%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D0%B5%D0%B2%D0%BD%D1%8B%D0%B5

    Ответить
  20. Lauri

    Рейтинг спортивныъ экспертов https://addcatalogs.manyweb.ru/review/oblepihabet.ru.html

    Ответить
  21. Stuart

    Каппер из России https://www.sports.ru/tribuna/blogs/topstavki/1732145.html

    Ответить
  22. Antonio

    Капперы Россия https://kapperrussia.ru/?p=143&cpage=4

    Ответить
  23. Christi

    Спортиный прогнозист https://kapperrussia.ru/?p=143&cpage=6

    Ответить
  24. Angelita

    Лучшие спортивные эксперты https://www.wikiwand.com/ru/%D0%A2%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%84%D0%B5%D0%B5%D0%B2%D0%B0,_%D0%90%D0%BD%D0%BD%D0%B0_%D0%92%D0%B8%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0

    Ответить
  25. Alberta

    Отзывы о капперах https://similars.net/alternatives-to/prognoz.org.ru

    Ответить
  26. Rae

    Рейтинг прогнозистов https://similars.net/alternatives-to/prognoz.org.ru

    Ответить
  27. Lenora

    Капперы Россия https://similars.net/alternatives-to/match-prognoz.com

    Ответить
  28. Domenic

    Купить, недорого в интернет-магазине https://kodstrany.ru/%d0%bb%d0%b0%d0%ba%d0%be%d0%ba%d1%80%d0%b0%d1%81%d0%be%d1%87%d0%bd%d1%8b%d0%b5-%d0%bc%d0%b0%d1%82%d0%b5%d1%80%d0%b8%d0%b0%d0%bb%d1%8b-%d0%b2-%d0%bc%d0%be%d1%81%d0%ba%d0%b2%d0%b5/

    Ответить
  29. Elwood

    Ставки на спорт 1xbet https://romlife.ru/profile/kateblanks26027/

    Ответить
  30. Almeda

    1xBet зеркало – актуальная ссылка http://o993028a.beget.tech/profile.php?id=182050

    Ответить
  31. Matthias

    1xbet лучшая букмекерская компания http://o993028a.beget.tech/profile.php?id=182056

    Ответить
  32. Tesha

    Ставки на спорт 1xbet https://megaartel.ru/community/profile/eldonrtc219133/

    Ответить
  33. Adolph

    1xbet лучшая букмекерская компания http://p902861n.bget.ru/community/profile/alvanicastro471/

    Ответить
  34. Hugh

    1xBet зеркало – актуальная ссылка http://www.audiclub-russia.ru/user/KristineCarl84/

    Ответить
  35. Bev

    Профессиональное, качественное вскрытие авто в СПБ http://rostovdr.ru/profile/bryanlarios647

    Ответить
  36. Alexandra

    Профессиональное, качественное вскрытие авто в СПБ https://anapaspravki.ru/forum/profile/masonquinlan817/

    Ответить
  37. https://realgirls.fun/traceyw04260

    Недорогое вскрытие автомобилей в СПБ
    https://realgirls.fun/traceyw04260

    Ответить
  38. Pearlene

    Профессиональное, качественное вскрытие авто в
    СПБ https://olympiada.motordata.net/blog/index.php?entryid=49381

    Ответить
  39. Lela

    Купить, недорого в интернет-магазине https://www.nanograd-samara.ru/%d0%ba%d1%83%d0%bf%d0%b8%d1%82%d1%8c-%d0%ba%d1%80%d0%b5%d0%bf%d0%b5%d0%b6-%d0%b2-%d0%bc%d0%be%d1%81%d0%ba%d0%b2%d0%b5/

    Ответить
  40. Samara

    Заказать с доставкой в Москве http://allstamps.ru/author/teresitaq34/

    Ответить
  41. Laverne

    Профессиональное открытие автомобилей
    в Санкт-Петербурге http://mp-eparhia.org.ua/?q=uk/questions/129999

    Ответить
  42. Kirsten

    Качественные, недорогие дубликаты номеров в
    https://olympiada.motordata.net/blog/index.php?entryid=49840 России

    Ответить
  43. Shelia

    Профессиональное, качественный ремонт сварочных аппаратов в Минскеhttps://aerowine.ru/forums/users/jacquelinefregos/

    Ответить
  44. Pamala

    Рейтинг прогнозистов https://xn--80apmglwl.xn--p1ai/%D0%B2/%D0%9C%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%B2%D0%B0/UniContent-Studio-i3474595

    Ответить
  45. Chester

    Недорогой ремонт электроинструмента http://www.starryjeju.com/qna/2136704 по доступным ценам в Минске

    Ответить
  46. Tam

    Профессиональное, качественный ремонт
    сварочных аппаратов в Минскеhttps://travelmedia.su/forums/users/laurahowse9/edit?updated=true/users/laurahowse9/

    Ответить
  47. Venus

    Профессиональный ремонт сварочных инверторов в Минске http://brianknapp.co/community/profile/enriquetaxsd052/ в Минске

    Ответить
  48. Conrad

    Профессиональный ремонт сварочных
    инверторов в Минске http://conference.iroipk-sakha.ru/forums/users/xaviersimons/edit/?updated=true/users/xaviersimons/ в Минске

    Ответить
  49. Tami

    Профессиональное, качественный ремонт сварочных аппаратов в Минскеhttp://conference.iroipk-sakha.ru/forums/users/xaviersimons/edit/?updated=true/users/xaviersimons/

    Ответить
  50. Betsy

    Быстрое открытие автомобилей в Спб https://chicago24online.com/community/profile/alexanderestep8/

    Ответить
  51. Denny

    Недорогой ремонт сварочночного
    оборудования Минск https://www.alpea.ru/forum/user/17156/ в Минске

    Ответить
  52. Emery

    Быстрый недорогой ремонт плазморезов в Минске и области https://crazyservice.by/forum/user/8833/

    Ответить
  53. Georgina

    Недорогой ремонт сварочных полуавтоматов по
    доступным ценам в Минске http://energetik59.ru/index.php?subaction=userinfo&user=osisuty

    Ответить
  54. avodartbuy365

    Special offer: Save up to 129$ (only $0.25 per pill) – https://avodartcheap.tumblr.com buy avodart online and get discount for all purchased! Two Free Pills (Viagra or Cialis or Levitra) available With Every Order. No prescription required, safe & secure payments, fast & free Delivery.

    Ответить
  55. Ernestina

    Благоустройство могил в Воронеже http://ieef.msu.ru/index.php?subaction=userinfo&user=ujexuwi

    Ответить
  56. Артем

    Здравствуйте! Увеличиваю поток клиентов с онлайн карт!

    Накрутка рейтинга на Авито/Яндекс/2гис/Маркетплейсы и др.

    А так же:
    – Удаление отзывов и регистрация на Гугл картах!
    – Реклама в Яндекс/Гугл, ВК и Инстаграм.
    – Создание и СЕО сайтов.
    – Авито продвижение.

    Если интересно, пишите мне в WhatsApp: +7(962) 546-38-36

    Более подробную информацию можно узнать здесь:

    https://ergunov-marketing.ru/serm

    Ответить