Возведение степени в степень

Степень степени – это возведение в степень числа или переменной, находящейся в степени. Например, $(4^2)^3$ или $(x^5)^2$ , или так $(5a^3)^m$ . Чтобы возвести в степень степень надо знать правило: при возведении степени в степень надо показатели перемножить.

$\displaystyle (a^m)^n=a^{m \cdot n}$

Содержание

Правила возведения степени в степень

Степень степени

При возведении степени в степень, показатели перемножаются, а основание степени остается прежним:

$\displaystyle (a^n)^m=a^{n \cdot m}$

Степень произведения степеней

Если в степень возводится произведение степеней, то в степень возводится каждый множитель:

$\displaystyle (a^n \cdot b^k)^m=a^{n \cdot m} \cdot b^{k \cdot m}$

Степень частного степеней

Если в степень возводится частное степеней, то в степень возводится и делимое, и делитель:

$\displaystyle (\frac{a^n}{ b^k})^m=\frac{a^{n \cdot m}}{b^{k \cdot m}}$

Частные случаи возведения степени в степень

Степень в 1 степени равна самой себе:

$\displaystyle (a^n)^1=a^{n \cdot 1}=a^n$

Степень в 0 степени равна единице:

$\displaystyle (a^n)^0=a^{n \cdot 0}=a^0=1$

Примеры возведения степени в степень

Приведем примеры возведения степени в степень. Возьмем для примера задания на вычисление из ЕГЭ.

Пример 1

Найти значение выражения:

$(2^{16})^5:2^{74}$

Решение: При возведении степени в степень показатели перемножаются. Возведем $(2^{16})^5=2^{16 \cdot 5}=2^{80}$ .

Теперь у нас получается: $2^{80}:2^{74}=2^{80-74}=2^6=64$ .

Ответ: 64.

Пример 2

Найдите значение выражения:

$4^{\frac{1}{5}}\cdot 16^{\frac{9}{10}}$ .

Решение:

Приведем степени к одному основанию – 2. Получим:

$(2^2)^{\frac{1}{5}}\cdot (2^4)^{\frac{9}{10}}$

При возведении степени в степень показатели степени умножаются:

$2^{2 \cdot \frac{1}{5}}\cdot 2^{4 \cdot \frac{9}{10}}$

$2^{\frac{2}{5}}\cdot 2^{\frac{36}{10}}$

$2^{\frac{2}{5}}\cdot 2^{\frac{18}{5}}$

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели степени складываются:

$2^{\frac{2}{5}+\frac{18}{5}} =2^{\frac{2+18}{5}}=2^{\frac{2+18}{5}}=2^{\frac{20}{5}}=2^4=16$ .

Ответ: 16.

Пример 3

Найдите значение выражения $\frac{81^{2,6}}{9^{3,7}}$ .

Решение: Приведем степени в числителе и в знаменателе дроби к одному основанию $\frac{81^{2,6}}{9^{3,7}}$ . Получим:

$\frac{(9^2)^{2,6}}{9^{3,7}}$ . При возведении степени в степень показатели перемножаются: $\frac{(9)^{5,2}}{9^{3,7}}$

Показатели вычитаются при делении степеней с одинаковыми основаниями:

$9^{5,2-3,7}=9^{1,5}=(3^2)^{1,5}=3^3=27$ .

Ответ: 27.

Пример 4

Найдите значение выражения $(27^4)^3:(9^2)^8$

Решение: При возведении в степень степени показатели степеней нужно перемножить. Получим: $27^{12}: 9^{16}$ .

Теперь приведем степени к одинаковому основанию: $27^{12} : 9^{16}=(3^3)^{12} : (3^2)^16=3^{36} : 3^{32}$ .

При вычитании степеней, основания которых одинаковы, показатели степеней вычитаются: $3^{36-32}=3^4=81$ .

Ответ: 81.

Пример 5

Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{\sqrt[5] {45} \cdot \sqrt[5]{189}}{\sqrt[5]{35}}$ .

Решение: если возводятся в одну и ту же степень разные множители, то можно сначала их перемножить, а потом произведение уже возвести в эту степень. То есть, $a^k b^k c^k =(abc)^k$

Корень любой степени из числа $a$ можно также представить и как степень. В нашем выражении $\displaystyle \sqrt[5]{a}=a^{\frac{1}{5}}$ . Таким образом, мы можем все выражение записать под одним корнем.

Итак, наше выражение можно записать так:

$\displaystyle \frac{\sqrt[5] {45} \cdot \sqrt[5]{189}}{\sqrt[5]{35}}=\sqrt[5]{\frac{45 \cdot 189}{35}}=\sqrt[5]{9 \cdot 27} =\sqrt[5]{243}=3$ .

Ответ: 3.

Итак, мы с вами изучили возведение степени в степень. Разобрали что при возведении степени в степень показатели перемножаются, действия со степенями помогут решать задачи из ОГЭ на нахождение значения выражения. Задания на это правило часто используется при упрощении выражений, в уравнениях и в неравенствах.

Еще про степень можно посмотреть:

Свойства степеней с натуральным показателем.

Добавить комментарий

Дмитрий 25.10.2022 в 19:59

Здравствуйте!

Мы ищем хорошие сайты для покупки и дальнейшего развития.

Понравился ваш проект repetitor-mathematics.ru. Прямо сейчас рассматриваю его к приобретению.

Готов купить его за 15 месяцев окупаемости (доход в месяц * 15). Цена может быть пересмотрена в большую сторону.

Если вам это интересно, то можем обсудить по почте kuprdimasites@gmail.com, телефону +79959176538 (whatsapp) или Telegram (kupratsevich).

Что скажете?

Ответить
Дмитрий 17.02.2023 в 18:27

Здравствуйте!

Меня зовут Дмитрий (Инстаграм: kupratsevich_dima). Я ищу хорошие сайты для покупки и дальнейшего развития.

Понравился ваш проект “&A813&”. Прямо сейчас рассматриваю его к приобретению.

Предварительно предлагаю “&B813&” рублей. Цена может быть пересмотрена в большую сторону.

Если вам это интересно, то можем обсудить.

Почта: kuprdimasites@gmail.com
Телефон (whatsapp): +79959176538
Telegram: kupratsevich

Ответить
займы без отказа в Москве 20.02.2023 в 21:03

возможность получения онлайн-кредита как быстрого решения срочных финансовых проблем. Традиционные банки не всегда помогают в таких случаях, поскольку процесс рассмотрения заявки может быть длительным. В статье говорится о том, что онлайн микрозайм можно получить, имея только паспорт и доступ в интернет. Представленная услуга – это платформа, которая предлагает круглосуточный доступ к микрозаймам без посредников. Платформа позволяет быстро оформить онлайн-займ, получить ответ в течение нескольких минут, а деньги – практически мгновенно после одобрения.

займы без отказа в Москве

Ответить

Возведение степени в степень – правила и примеры