Суббота, 17 сентября 2022   Подписка на обновления
Суббота, 17 сентября 2022   Подписка на обновления
Популярно
Возведение степени в степень — правила и примеры

Возведение степени в степень — правила и примеры


Степень степени — это возведение в степень числа или переменной, находящейся в степени. Например, (4^2)^3 или (x^5)^2, или так (5a^3)^m. Чтобы возвести в степень степень надо знать правило: при возведении степени в степень надо показатели перемножить.

    \[\displaystyle (a^m)^n=a^{m \cdot n}\]

Правила возведения степени в степень

Степень степени
При возведении степени в степень, показатели перемножаются, а основание степени остается прежним:

    \[\displaystyle (a^n)^m=a^{n \cdot m}\]

Степень произведения степеней
Если в степень возводится произведение степеней, то в степень возводится каждый множитель:

    \[\displaystyle (a^n \cdot b^k)^m=a^{n \cdot m} \cdot b^{k \cdot m}\]

Степень частного степеней
Если в степень возводится частное степеней, то в степень возводится и делимое, и делитель:

    \[\displaystyle (\frac{a^n}{ b^k})^m=\frac{a^{n \cdot m}}{b^{k \cdot m}}\]

Частные случаи возведения степени в степень

Степень в 1 степени равна самой себе:

    \[\displaystyle (a^n)^1=a^{n \cdot 1}=a^n\]

Степень в 0 степени равна единице:

    \[\displaystyle (a^n)^0=a^{n \cdot 0}=a^0=1\]

Примеры возведения степени в степень

Приведем примеры возведения степени в степень. Возьмем для примера задания на вычисление из ЕГЭ.

Пример 1

Найти значение выражения:

(2^{16})^5:2^{74}

Решение: При возведении степени в степень показатели перемножаются. Возведем (2^{16})^5=2^{16 \cdot 5}=2^{80}.

Теперь у нас получается: 2^{80}:2^{74}=2^{80-74}=2^6=64.

Ответ: 64.

Пример 2

Найдите значение выражения:

4^{\frac{1}{5}}\cdot 16^{\frac{9}{10}}.

Решение:

Приведем степени к одному основанию — 2. Получим:

(2^2)^{\frac{1}{5}}\cdot (2^4)^{\frac{9}{10}}

При возведении степени в степень показатели степени умножаются:

2^{2 \cdot \frac{1}{5}}\cdot 2^{4 \cdot \frac{9}{10}}

2^{\frac{2}{5}}\cdot 2^{\frac{36}{10}}

2^{\frac{2}{5}}\cdot 2^{\frac{18}{5}}

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели степени складываются:

2^{\frac{2}{5}+\frac{18}{5}} =2^{\frac{2+18}{5}}=2^{\frac{2+18}{5}}=2^{\frac{20}{5}}=2^4=16.

Ответ: 16.

Пример 3

Найдите значение выражения \frac{81^{2,6}}{9^{3,7}}.

Решение: Приведем степени в числителе и в знаменателе дроби к одному основанию \frac{81^{2,6}}{9^{3,7}}. Получим:

\frac{(9^2)^{2,6}}{9^{3,7}}. При возведении степени в степень показатели перемножаются: \frac{(9)^{5,2}}{9^{3,7}}

Показатели вычитаются при делении степеней с одинаковыми основаниями:

9^{5,2-3,7}=9^{1,5}=(3^2)^{1,5}=3^3=27.

Ответ: 27.

Пример 4

Найдите значение выражения (27^4)^3:(9^2)^8

Решение: При возведении в степень степени показатели степеней нужно перемножить. Получим: 27^{12}: 9^{16}.

Теперь приведем степени к одинаковому основанию: 27^{12} : 9^{16}=(3^3)^{12} : (3^2)^16=3^{36} : 3^{32}.

При вычитании степеней, основания которых одинаковы, показатели степеней вычитаются: 3^{36-32}=3^4=81.

Ответ: 81.

Пример 5

Найдите значение выражения \displaystyle \frac{\sqrt[5] {45} \cdot \sqrt[5]{189}}{\sqrt[5]{35}}.

Решение: если возводятся в одну и ту же степень разные множители, то можно сначала их перемножить, а потом произведение уже возвести в эту степень. То есть, a^k b^k c^k =(abc)^k

Корень любой степени из числа a можно также представить и как степень. В нашем выражении \displaystyle \sqrt[5]{a}=a^{\frac{1}{5}}. Таким образом, мы можем все выражение записать под одним корнем.

Итак, наше выражение можно записать так:

\displaystyle \frac{\sqrt[5] {45} \cdot \sqrt[5]{189}}{\sqrt[5]{35}}=\sqrt[5]{\frac{45 \cdot 189}{35}}=\sqrt[5]{9 \cdot 27} =\sqrt[5]{243}=3.

Ответ: 3.

Итак, мы с вами изучили возведение степени в степень. Разобрали что при возведении степени в степень показатели перемножаются, действия со степенями помогут решать задачи из ОГЭ на нахождение значения выражения. Задания на это правило часто используется при упрощении выражений, в уравнениях и в неравенствах.

Еще про степень можно посмотреть:

Свойства степеней с натуральным показателем.

Об авторе: Ольга Викторовна


© 2022 Темы школьной программы — математика 5-11 класс
Дизайн и поддержка: GoodwinPress.ru

Adblock
detector