Возведение степени в степень

Возведение степени в степень – правила и примеры

Автор Ольга Викторовна Опубликовано 17.09.2022

Степень степени – это возведение в степень числа или переменной, находящейся в степени. Например, $(4^2)^3$ или $(x^5)^2$ , или так $(5a^3)^m$ . Чтобы возвести в степень степень надо знать правило: при возведении степени в степень надо показатели перемножить.

$\displaystyle (a^m)^n=a^{m \cdot n}$

Содержание

Правила возведения степени в степень

Степень степени

При возведении степени в степень, показатели перемножаются, а основание степени остается прежним:

$\displaystyle (a^n)^m=a^{n \cdot m}$

Степень произведения степеней

Если в степень возводится произведение степеней, то в степень возводится каждый множитель:

$\displaystyle (a^n \cdot b^k)^m=a^{n \cdot m} \cdot b^{k \cdot m}$

Степень частного степеней

Если в степень возводится частное степеней, то в степень возводится и делимое, и делитель:

$\displaystyle (\frac{a^n}{ b^k})^m=\frac{a^{n \cdot m}}{b^{k \cdot m}}$

Частные случаи возведения степени в степень

Степень в 1 степени равна самой себе:

$\displaystyle (a^n)^1=a^{n \cdot 1}=a^n$

Степень в 0 степени равна единице:

$\displaystyle (a^n)^0=a^{n \cdot 0}=a^0=1$

Примеры возведения степени в степень

Приведем примеры возведения степени в степень. Возьмем для примера задания на вычисление из ЕГЭ.

Пример 1

Найти значение выражения:

$(2^{16})^5:2^{74}$

Решение: При возведении степени в степень показатели перемножаются. Возведем $(2^{16})^5=2^{16 \cdot 5}=2^{80}$ .

Теперь у нас получается: $2^{80}:2^{74}=2^{80-74}=2^6=64$ .

Ответ: 64.

Пример 2

Найдите значение выражения:

$4^{\frac{1}{5}}\cdot 16^{\frac{9}{10}}$ .

Решение:

Приведем степени к одному основанию – 2. Получим:

$(2^2)^{\frac{1}{5}}\cdot (2^4)^{\frac{9}{10}}$

При возведении степени в степень показатели степени умножаются:

$2^{2 \cdot \frac{1}{5}}\cdot 2^{4 \cdot \frac{9}{10}}$

$2^{\frac{2}{5}}\cdot 2^{\frac{36}{10}}$

$2^{\frac{2}{5}}\cdot 2^{\frac{18}{5}}$

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели степени складываются:

$2^{\frac{2}{5}+\frac{18}{5}} =2^{\frac{2+18}{5}}=2^{\frac{2+18}{5}}=2^{\frac{20}{5}}=2^4=16$ .

Ответ: 16.

Пример 3

Найдите значение выражения $\frac{81^{2,6}}{9^{3,7}}$ .

Решение: Приведем степени в числителе и в знаменателе дроби к одному основанию $\frac{81^{2,6}}{9^{3,7}}$ . Получим:

$\frac{(9^2)^{2,6}}{9^{3,7}}$ . При возведении степени в степень показатели перемножаются: $\frac{(9)^{5,2}}{9^{3,7}}$

Показатели вычитаются при делении степеней с одинаковыми основаниями:

$9^{5,2-3,7}=9^{1,5}=(3^2)^{1,5}=3^3=27$ .

Ответ: 27.

Пример 4

Найдите значение выражения $(27^4)^3:(9^2)^8$

Решение: При возведении в степень степени показатели степеней нужно перемножить. Получим: $27^{12}: 9^{16}$ .

Теперь приведем степени к одинаковому основанию: $27^{12} : 9^{16}=(3^3)^{12} : (3^2)^16=3^{36} : 3^{32}$ .

При вычитании степеней, основания которых одинаковы, показатели степеней вычитаются: $3^{36-32}=3^4=81$ .

Ответ: 81.

Пример 5

Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{\sqrt[5] {45} \cdot \sqrt[5]{189}}{\sqrt[5]{35}}$ .

Решение: если возводятся в одну и ту же степень разные множители, то можно сначала их перемножить, а потом произведение уже возвести в эту степень. То есть, $a^k b^k c^k =(abc)^k$

Корень любой степени из числа $a$ можно также представить и как степень. В нашем выражении $\displaystyle \sqrt[5]{a}=a^{\frac{1}{5}}$ . Таким образом, мы можем все выражение записать под одним корнем.

Итак, наше выражение можно записать так:

$\displaystyle \frac{\sqrt[5] {45} \cdot \sqrt[5]{189}}{\sqrt[5]{35}}=\sqrt[5]{\frac{45 \cdot 189}{35}}=\sqrt[5]{9 \cdot 27} =\sqrt[5]{243}=3$ .

Ответ: 3.

Итак, мы с вами изучили возведение степени в степень. Разобрали что при возведении степени в степень показатели перемножаются, действия со степенями помогут решать задачи из ОГЭ на нахождение значения выражения. Задания на это правило часто используется при упрощении выражений, в уравнениях и в неравенствах.

Еще про степень можно посмотреть:

Свойства степеней с натуральным показателем.

Добавить комментарий

Дмитрий 25.10.2022 в 19:59

Здравствуйте!

Мы ищем хорошие сайты для покупки и дальнейшего развития.

Понравился ваш проект repetitor-mathematics.ru. Прямо сейчас рассматриваю его к приобретению.

Готов купить его за 15 месяцев окупаемости (доход в месяц * 15). Цена может быть пересмотрена в большую сторону.

Если вам это интересно, то можем обсудить по почте kuprdimasites@gmail.com, телефону +79959176538 (whatsapp) или Telegram (kupratsevich).

Что скажете?

Ответить
Дмитрий 17.02.2023 в 18:27

Здравствуйте!

Меня зовут Дмитрий (Инстаграм: kupratsevich_dima). Я ищу хорошие сайты для покупки и дальнейшего развития.

Понравился ваш проект “&A813&”. Прямо сейчас рассматриваю его к приобретению.

Предварительно предлагаю “&B813&” рублей. Цена может быть пересмотрена в большую сторону.

Если вам это интересно, то можем обсудить.

Почта: kuprdimasites@gmail.com
Телефон (whatsapp): +79959176538
Telegram: kupratsevich

Ответить
займы без отказа в Москве 20.02.2023 в 21:03

возможность получения онлайн-кредита как быстрого решения срочных финансовых проблем. Традиционные банки не всегда помогают в таких случаях, поскольку процесс рассмотрения заявки может быть длительным. В статье говорится о том, что онлайн микрозайм можно получить, имея только паспорт и доступ в интернет. Представленная услуга – это платформа, которая предлагает круглосуточный доступ к микрозаймам без посредников. Платформа позволяет быстро оформить онлайн-займ, получить ответ в течение нескольких минут, а деньги – практически мгновенно после одобрения.

займы без отказа в Москве

Ответить
zoritoler imol 22.08.2023 в 13:52

Youre so cool! I dont suppose Ive learn something like this before. So good to seek out any individual with some unique ideas on this subject. realy thanks for starting this up. this website is something that’s needed on the internet, somebody with somewhat originality. useful job for bringing something new to the web!

Ответить
Get free iPhone 14 Pro Max: https://marlarbots.com/files/go.php hs=fb850d5857682a7bfef8542ad0efad10* 07.10.2023 в 08:39

wrgypc

Ответить
gralion torile 03.11.2023 в 13:30

I’m not sure where you’re getting your info, but great topic. I needs to spend some time learning much more or understanding more. Thanks for magnificent info I was looking for this information for my mission.

Ответить