Функция – понятие функции

Что такое функция? Представим себе машину, которая двигается по дороге из одного города в другой. Мы можем в каждый момент времени определить положение машины. То есть у нас есть множество различных моментов времени и множество точек, определяющих положение машины на дороге. При этом положение машины на дороге зависит от того, в какой момент времени мы определяем это положение. То есть одно множестве переменных величин зависит от другого множества, каждая отдельная переменная из одного множества зависит от переменной из другого множества. Зависимость одной переменной от другой называется функциональной зависимостью.

В этой статье мы рассмотрим что такое функция, дадим определения области определения функции и области ее значений, понятие графика функции.

Область определения и область значений функции

– значение функции в точке .

Если область определения функции и область ее значений определены в множестве рациональных чисел, то функцию называют числовой.

Элементы множества еще называют значениями аргумента, а соответствующие им элементы – значениями функции.

Если функция задана формулой и область определения функции не указана, то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Например, область определения функции, заданной формулой , состоит из всех чисел, кроме нуля.

Как найти область определения функции

Для того, чтобы найти область определения функции, мы должны определить – где функция будет существовать, при каких значениях аргумента. Приведем примеры:

Пример 1

Найти область определения функции 

Зададимся вопросом – при каких значениях функция будет существовать? Очевидно, что функция существует, если знаменатель дроби не равен нулю. То есть .

Для определения этого значения решим уравнение:

.

Находим, .

То есть функция не будет существовать при значении . Тогда областью определения функции (где она существует) – будут все значения кроме 5. Через интервалы можно записать так:

.

Пример 2

Найти область определения функции .

Здесь функция определена при любых значениях аргумента. То есть D(f) – все числа.

Пример 3

Определить область определения функции

.

Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть больше или равно нулю. Таким образом, мы можем записать:

Решим данное неравенство и получим: .

Тогда область определения функции будет интервал значений аргумента .

График функции

Графиком функции называется множество всех точек, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции. То есть график функции – это изображение на координатной плоскости множества пар , связанных зависимостью , где .

Способы задания функции

Функция может быть задана аналитически в виде формулы , где переменная – элемент множества значений аргумента, а переменная – соответствующее значение функции.

Например, формула определяет некоторую функцию, где каждому значению переменной , взятому из области определения функции, соответствует единственное значение переменной .

Функция   полностью определяется заданием множества пар ,  где принимает все значения из , а – соответствующие значения функции.

Однако не всякое множество точек координатной плоскости является графиком некоторой функции. Например, если мы рассмотрим следующий график, то увидим, что значению соответствуют три значения , и, следовательно, такое соответствие не является функцией.

Для того, чтобы множество точек координатной плоскости являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая, параллельная оси , пересекалась с указанным графиком не более чем в одной точке.

Монотонность функции

Функция называется возрастающей на данном числовом промежутке , если большему значению аргумента соответствует большее значение функции . Это значит, что для любых и из промежутка , таких, что , выполнено неравенство .

Функция называется убывающей на данном числовом промежутке , если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции . Это значит, что для любых и из промежутка , таких, что , выполнено неравенство .

Функция только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке, называется монотонной на этом промежутке.

О монотонности функции можно судить по ее графику. Например, функция, график которой изображен ниже является монотонно возрастающей на всей числовой оси.

А вот эта функция является монотонно убывающей.

А теперь рассмотрим вот такой график функции – на ней функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке .

Пример

Докажите, что функция, заданная формулой , где , возрастающая.

Решение: Пусть , где и . Тогда .

Поскольку , то и , а, значит,  . То есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции, таким образом, функция возрастающая на промежутке .

Четные и нечетные функции

Пример 1

Доказать, что функция не является ни четной, ни нечетной.

Доказательство.

Областью определения данной функции является вся числовая прямая, то есть условие 1 выполнено. Проверяем условие 2.

Чтобы доказать, что функция не является четной, нам нужно доказать, что условие 2 для четной функции не выполняется, то есть что .

Пусть , тогда . Проверяем: , а , таким образом . Функция не является четной. Одновременно, не выполняется и второе условие для нечетной функции, мы получили, что: . То есть функция не является нечетной.

Пример 2

Определите четность или нечетность функции:

Решение: область определения данной функции – вся числовая ось, кроме точки (на ноль делить нельзя).  Найдем .

Получим: . Вынесем минус за скобки:

.

Отсюда выходит, что , то есть выполняется условие для нечетной функции. А, значит, функция – нечетная функция.

Пример 3

Определить четность или нечетность функции:

.

Решение: Первое условие о симметричности области определения функции выполняется, так как область определения функции . Переменим знак аргумента функции и упростим:

.

Получается, что . То есть функция – четная.

Периодические функции

Если   – период функции, то , где , , также период функции. Следовательно, всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. На практике обычно рассматривается наименьший положительный период.

Значения периодической функции через промежуток, равный периоду, повторяются. Это обстоятельство используется при построении графиков.

Промежутки знакопостоянства и корни функции

Числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (то есть остается положительной или отрицательной), называются промежутками знакопостоянства функции.

О промежутках знакопостоянства функции можно сделать вывод, посмотрев на график функции. Например, возьмем график функции . Здесь при , при . В первом случае график расположен выше оси , во втором – ниже ее.

Итак, мы с вами изучили что такое функция, определили когда функция является четной, а когда нечетной, способы задания функции, область определения функции и область ее значений. А также дали понятие периодической функции и корней функции. Выяснили, что называется промежутками знакопостоянства функции. Привели примеры.

Читайте еще похожие статьи:

• Обращение десятичной дроби в обыкновенную
• Десятичные дроби
• Геометрическая прогрессия
• Производная функции – определение и геометрический смысл
• Что такое множитель и разложение на простые множители
• Многочлены
• Одночлены
• Свойства степеней с натуральным показателем
• Производная корня
• Квадратный корень