...

Функция – понятие функции

Функция АЛГЕБРА

Что такое функция? Представим себе машину, которая двигается по дороге из одного города в другой. Мы можем в каждый момент времени определить положение машины. То есть у нас есть множество различных моментов времени и множество точек, определяющих положение машины на дороге. При этом положение машины на дороге зависит от того, в какой момент времени мы определяем это положение. То есть одно множестве переменных величин зависит от другого множества, каждая отдельная переменная из одного множества зависит от переменной из другого множества. Зависимость одной переменной от другой называется функциональной зависимостью.

Функция - это что
Функция – это что

Зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если каждому значению x соответствует единственное значение y. Используют запись y=f(x).

В этой статье мы рассмотрим что такое функция, дадим определения области определения функции и области ее значений, понятие графика функции.

Переменную x называют независимой переменной или аргументом, а переменную y – зависимой переменной. Говорят, что y является функцией от x.

Значение y, соответствующее заданному значению x, называют значением функции.

Область определения и область значений функции

Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют множество значений функции.
Для функции f приняты обозначения: D(f) –  область определения функции, E(f) – множество значений функции.

f(x_0) – значение функции в точке x_0.

Если область определения функции и область ее значений определены в множестве рациональных чисел, то функцию называют числовой.

Элементы множества D(f) еще называют значениями аргумента, а соответствующие им элементы E(f) – значениями функции.

Если функция задана формулой и область определения функции не указана, то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Например, область определения функции, заданной формулой y=\frac{1}{x}, состоит из всех чисел, кроме нуля.

Как найти область определения функции

Для того, чтобы найти область определения функции, мы должны определить – где функция будет существовать, при каких значениях аргумента. Приведем примеры:

Пример 1

Найти область определения функции y=\frac{x}{x-5}

Зададимся вопросом – при каких значениях x функция будет существовать? Очевидно, что функция существует, если знаменатель дроби не равен нулю. То есть x-5 \neq 0.

Для определения этого значения x решим уравнение:

x-5=0.

Находим, x=5.

То есть функция не будет существовать при значении x=5. Тогда областью определения функции (где она существует) – будут все значения x кроме 5. Через интервалы можно записать так:

x \in (-\infty ; 5) \cup (5; +\infty).

Пример 2

Найти область определения функции y=8x.

Здесь функция определена при любых значениях аргумента. То есть D(f) – все числа.

Пример 3

Определить область определения функции

y=\sqrt{1+x}.

Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть больше или равно нулю. Таким образом, мы можем записать:

1+x \geq 0

Решим данное неравенство и получим: x \geq -1.

Тогда область определения функции будет интервал значений аргумента x \in [-1; +\infty).

График функции

Графиком функции называется множество всех точек, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции. То есть график функции y=f(x)– это изображение на координатной плоскости множества пар (x,y), связанных зависимостью y=f(x), где x \in D(f).

Способы задания функции

Функция может быть задана аналитически в виде формулы y=f(x), где переменная x – элемент множества значений аргумента, а переменная y – соответствующее значение функции.

Например, формула y=x^2 определяет некоторую функцию, где каждому значению переменной x, взятому из области определения функции, соответствует единственное значение переменной y=x^2.

Функция f  полностью определяется заданием множества пар (x,y),  где x принимает все значения из D(f), а f(x) – соответствующие значения функции.

Однако не всякое множество точек координатной плоскости является графиком некоторой функции. Например, если мы рассмотрим следующий график, то увидим, что значению x=x_0 соответствуют три значения y (y_1, y_2, y_3), и, следовательно, такое соответствие не является функцией.

График не является графиком функции
График не является графиком функции

Для того, чтобы множество точек координатной плоскости являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая, параллельная оси Oy, пересекалась с указанным графиком не более чем в одной точке.

Монотонность функции

Функция f(x) называется возрастающей на данном числовом промежутке X, если большему значению аргумента x \in X соответствует большее значение функции f(x). Это значит, что для любых x_1 и x_2 из промежутка X, таких, что x_2>x_1, выполнено неравенство f(x_2)>f(x_1).

Функция f(x) называется убывающей на данном числовом промежутке X, если большему значению аргумента x \in X соответствует меньшее значение функции f(x). Это значит, что для любых x_1 и x_2 из промежутка X, таких, что x_2>x_1, выполнено неравенство f(x_2)<f(x_1).

Функция только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке, называется монотонной на этом промежутке.

О монотонности функции можно судить по ее графику. Например, функция, график которой изображен ниже является монотонно возрастающей на всей числовой оси.

Монотонно возрастающая функция
Монотонно возрастающая функция

А вот эта функция является монотонно убывающей.

Монотонно убывающая функция
Монотонно убывающая функция – график функции.

А теперь рассмотрим вот такой график функции – на ней функция убывает на промежутке (-\infty; 0] и возрастает на промежутке [0; +\infty).

График функции которая монотонно убывает и монотонно возрастает
График функции которая монотонно убывает и монотонно возрастает на определенных интервалах области определения функции.

Пример

Докажите, что функция, заданная формулой f(x)=5x^2, где x \geq 0, возрастающая.

Решение: Пусть x_2>x_1, где x_2>0 и x_1 \geq 0. Тогда f(x_2)-f(x_1)=5{x_2}^2-5{x_1}^2=5({x_2}^2-{x_1}^2)=5(x_2-x_1)(x_2+x_1)>0.

Поскольку x_2>x_1, то и x_2-x_1>0, а, значит,  f(x_2)-f(x_1)>0. То есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции, таким образом, функция f(x)=5x^2 возрастающая на промежутке [0; +\infty).

Четные и нечетные функции

Функция y=f(x) называется четной, если она обладает следующими двумя свойствами:

  1. Область определения этой функции симметрична относительно точки О (то есть, если точка a принадлежит области определения, то точка -a также принадлежит области определения).
  2. Для любого значения x, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство f(x)=f(-x).
Четная функция
График четной функции – пример.

Функция y=f(x) называется нечетной, если:

  1. Область определения этой функции симметрична относительно точки O.
  2. Для любого значения x, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство f(-x)=-f(x).
Нечетная функция
График нечетной функции – пример.

Заметим, что не всякая функция является четной или нечетной. Например, каждая из функций y=15x+2 и y=3x^4+2x  не является ни четной, ни нечетной.

Пример 1

Доказать, что функция y=4x+2 не является ни четной, ни нечетной.

Доказательство.

Областью определения данной функции y=4x+2 является вся числовая прямая, то есть условие 1 выполнено. Проверяем условие 2.

Чтобы доказать, что функция y=4x+2 не является четной, нам нужно доказать, что условие 2 для четной функции не выполняется, то есть что f(x) \neq f(-x).

Пусть x=1, тогда -x=-1. Проверяем: f(x)=f(1)=4 \cdot 1+2=6, а f(-x)=f(-1)=4 \cdot (-1)+2=-2, таким образом f(x) \neq f(-x). Функция не является четной. Одновременно, не выполняется и второе условие для нечетной функции, мы получили, что: f(-x) \neq -f(x). То есть функция не является нечетной.

Пример 2

Определите четность или нечетность функции:

y=x+\frac{1}{x}

Решение: область определения данной функции – вся числовая ось, кроме точки x=0 (на ноль делить нельзя).  Найдем y(-x).

Получим: y(-x)=-x+\frac{1}{-x}. Вынесем минус за скобки:

y(-x)=-(x+\frac{1}{x})=-y(x).

Отсюда выходит, что y(-x)=-y(x), то есть выполняется условие для нечетной функции. А, значит, функция y=x+\frac{1}{x} – нечетная функция.

Пример 3

Определить четность или нечетность функции:

y=(x-3)^2+(x+3)^2.

Решение: Первое условие о симметричности области определения функции выполняется, так как область определения функции D(y)=R. Переменим знак y аргумента функции и упростим:

y(-x)=(-x-3)^2+(-x+3)^2=(-(x+3))^2+(-(x-3))^2=(-1)^2(x+3)^2+(-1)^2(x-3)^2=(x-3)^2+(x+3)^2.

Получается, что y(-x)=y(x). То есть функция y=(x-3)^2+(x+3)^2 – четная.

Периодические функции

Функция f называется периодической, если существует такое число T \neq 0, что при любом x из области определения функции числа x-T и x+T также принадлежат этой области и выполняется равенство f(x)=f(x-T)=f(x+T). В этом случае число T называется периодом функции f.

Если T  – период функции, то Tk, где k \in Z, k \neq 0, также период функции. Следовательно, всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. На практике обычно рассматривается наименьший положительный период.

Значения периодической функции через промежуток, равный периоду, повторяются. Это обстоятельство используется при построении графиков.

Промежутки знакопостоянства и корни функции

Числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (то есть остается положительной или отрицательной), называются промежутками знакопостоянства функции.

О промежутках знакопостоянства функции можно сделать вывод, посмотрев на график функции. Например, возьмем график функции y=x. Здесь f(x)>0 при x \in R_{+}, f(x)<0 при x \in R_{-}. В первом случае график расположен выше оси Ox, во втором – ниже ее.

График линейной функции
График линейной функции

Значения аргумента x, при которых f(x)=0, называются корнями (или нулями) функции. Значения аргумента, при которых функция обращается в нуль – это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ox: x_1x_2x_3.

Корни функции
Корни функции

Итак, мы с вами изучили что такое функция, определили когда функция является четной, а когда нечетной, способы задания функции, область определения функции и область ее значений. А также дали понятие периодической функции и корней функции. Выяснили, что называется промежутками знакопостоянства функции. Привели примеры.

Читайте еще похожие статьи:

Оцените статью
( 3 оценки, среднее 5 из 5 )
Поделиться с друзьями
Темы школьной программы - математика 5-11 класс
Добавить комментарий

  1. Hello World! https://racetrack.top/go/hezwgobsmq5dinbw?hs=8cc100181425170785913713bf8b6bad&

    340sqd

    Ответить
  2. bridgett

    My room is a little nippy… can you tell http://prephe.ro/Phqn

    Ответить
  3. claudia

    Thick and full of cum. Who needs a morning fuck? http://prephe.ro/Phqn

    Ответить
  4. jacquelyn

    I wanna be eaten out, any takers? http://prephe.ro/Phqn

    Ответить
  5. eliza

    I’m here to seduce you [OC] http://prephe.ro/Phqn

    Ответить
  6. zoritoler imol

    I have recently started a website, the information you offer on this web site has helped me tremendously. Thank you for all of your time & work.

    Ответить
  7. Get free iPhone 14 Pro Max: http://www.wskwell.com/uploads/go.php hs=8cc100181425170785913713bf8b6bad*

    x7zym6

    Ответить
  8. graliontorile

    Good site! I really love how it is simple on my eyes and the data are well written. I am wondering how I could be notified when a new post has been made. I’ve subscribed to your RSS which must do the trick! Have a great day!

    Ответить
  9. Withdrawing 28 809 Dollars. GЕТ =>> https://forms.yandex.com/cloud/65c5cc61e010db49642f145b/?hs=8cc100181425170785913713bf8b6bad&

    bm028p

    Ответить
  10. Extended Opportunity

    Hey,

    The moment we’ve all been waiting for is finally here – GoBuildr is now LIVE!

    Create ultra-lightning-fast websites, sales funnels, eCommerce stores, and more in less than 60 seconds, with just a keyword!

    Say goodbye to the limitations of traditional page builders. GoBuildr combines the functionality of 16 different tools into one powerful app, supercharged with AI-assisted technology.

    ⇒ Click Here To Checkout Demo https://ext-opp.com/GoBuildr

    Ответить
  11. ↕ Transfer 38 119 US dollars. Gо tо withdrаwаl >> https://forms.yandex.com/cloud/65db119102848fe3bdc15a6a?hs=8cc100181425170785913713bf8b6bad& ↕

    9r1moz

    Ответить
  12. Extended Opportunity

    He Got 256,354 Free Views With AI…

    Can you believe it?

    People spend thousands of dollars to get that kind of result…

    My friend Kundan just did it for free…

    He only used his new app… AI ScreenSnap…

    It’s the world’s first AI app that can generate videos with the power of Video-Exclusive AI Engine…

    That can edit, record, and generate videos with just a few clicks… with zero experience…

    Click here now and watch AI ScreenSnap in action https://ext-opp.com/AIScreenSnap

    Ответить
  13. Transaction 39 061 USD. Withdrаw > https://forms.yandex.com/cloud/65db11965d2a06eb0179d25d?hs=8cc100181425170785913713bf8b6bad&

    aldwjg

    Ответить
  14. Extended Opportunity

    BIG NEWS: there’s a brand new software being launched today that legally tricks AI chatbots into recommending YOUR website.

    Go check it out here ==>> https://ext-opp.com/ProfitSGE

    That’s right: Just imagine…there’s 1.5 billion people using AI chatbots every day.
    What if every time someone…

    -> Searched for “best laptops for my needs”… the AI would show them your website?
    -> Asked ChatGPT for “best doctors in my city”… it would send them to your local client’s business?
    -> Begged Google Gemini for “FAST weight loss”… you guessed it, Gemini would FORCE them to visit your site, display your affiliate offer and fill your pockets full of sales!

    This is a TRAFFIC & SEO revolution unlike anything that’s ever come before.

    This is YOUR chance to legally “hijack” traffic from 1.5 billion AI chatbots users and funnel it straight to any offer, site, product – for yourself or your clients!

    Get your copy here ==>> https://ext-opp.com/ProfitSGE

    Ответить
  15. Extended Opportunity

    A.I Create & Sell Unlimited Audiobooks to 2.3 Million Users – https://ext-opp.com/ECCO

    Ответить
  16. Extended Opportunity

    A.I Create & Sell Unlimited Audiobooks to 2.3 Million Users – https://ext-opp.com/ECCO

    Ответить
  17. Extended Opportunity

    A.I Create & Sell Unlimited Audiobooks to 2.3 Million Users – https://ext-opp.com/ECCO

    Ответить
  18. Extended Opportunity

    A.I Create & Sell Unlimited Audiobooks to 2.3 Million Users – https://ext-opp.com/ECCO

    Ответить
  19. Extended Opportunity

    A.I Create & Sell Unlimited Audiobooks to 2.3 Million Users – https://ext-opp.com/ECCO

    Ответить
  20. Transfer 35 195 US dollars. Gо tо withdrаwаl => https://telegra.ph/BTC-Transaction--928356-03-14?hs=8cc100181425170785913713bf8b6bad&

    34pzkr

    Ответить
  21. Extended Opportunity

    Create Stunning Ebooks In 60 Seconds – https://ext-opp.com/AIEbookPal

    Ответить
  22. Extended Opportunity

    Elevate Learning Adventures with The Story Shack!

    A library of 200+ high-quality books tailored to the school curriculum.
    StoryShack’s Build a Book bundle features word searches, quizzes, creative coloring pages, high-quality images, and top SEO keywords.
    StoryShack’s StoryCraft Pro bundle includes the “Melody Minds Library” with 350+ music tracks and “AnimateMasters Pro,” offering 30+ categories of animations.
    And as if that’s not enough, here are the MEGA BONUSES:

    ✔ 100+ Mega Mazes Pack
    ✔ 100+ Sudoku Elements Pack
    ✔ 100+ Comic Book Template Pack
    ✔ 100+ Handwriting Practice Template Pack
    ✔ 100+ Kids Story Book Templates
    ✔ Canva Book Templates
    ✔ Additional beautiful content like journal prompts
    ✔ INCLUDED: The Ultimate Workbook

    Click https://ext-opp.com/StoryShack to explore The Story Shack e-Learning Collection and seize the opportunity for multiplied income!

    Ответить
  23. tlover tonet

    I have been exploring for a little for any high-quality articles or weblog posts on this kind of area . Exploring in Yahoo I finally stumbled upon this website. Studying this information So i am glad to express that I’ve an incredibly just right uncanny feeling I came upon just what I needed. I so much no doubt will make sure to don’t overlook this web site and provides it a look on a continuing basis.

    Ответить
  24. Extended Opportunity

    Millions of Free Traffic with AI Tools – https://ext-opp.com/AIVault

    Ответить
  25. Extended Opportunity

    Millions of Free Traffic with AI Tools – https://ext-opp.com/AIVault

    Ответить
  26. Extended Opportunity

    This Dude Creates Bitc0in Out Of Thin Air [CRAZY]

    I didn’t believe it either at first…

    Until i saw it works in action >> https://ext-opp.com/Coinz

    You see, Bitc0in and the entire Crypt0 market is about to go through the rough…

    Some smart people will get in now, and make massive gains,
    And some will stand and watch people make money…

    Ultimately, I want you to get in now…

    But here is the issue…

    If you put any kind of money in it now, it would be a huge risk.
    Especially if you put in money that you can’t afford to lose…

    But what my friend, Seyi, did is insane…

    He created the world’s first AI app that literally generates Bitc0in and ETH out of thin air…

    All you need to do is just connect your wallet, and that’s it…

    – You don’t need to analyze the market
    – You don’t need mining equipments
    – You don’t need to trade
    – And you don’t need to invest even a penny

    To create your account with Coinz, and start receiving daily Bitc0in & etheruem for 100% free click here >> https://ext-opp.com/Coinz

    But don’t delay, because the price of Coinz will double very soon…

    Cheers

    Ответить
  27. Extended Opportunity

    This Dude Creates Bitc0in Out Of Thin Air [CRAZY]

    I didn’t believe it either at first…

    Until i saw it works in action >> https://ext-opp.com/Coinz

    You see, Bitc0in and the entire Crypt0 market is about to go through the rough…

    Some smart people will get in now, and make massive gains,
    And some will stand and watch people make money…

    Ultimately, I want you to get in now…

    But here is the issue…

    If you put any kind of money in it now, it would be a huge risk.
    Especially if you put in money that you can’t afford to lose…

    But what my friend, Seyi, did is insane…

    He created the world’s first AI app that literally generates Bitc0in and ETH out of thin air…

    All you need to do is just connect your wallet, and that’s it…

    – You don’t need to analyze the market
    – You don’t need mining equipments
    – You don’t need to trade
    – And you don’t need to invest even a penny

    To create your account with Coinz, and start receiving daily Bitc0in & etheruem for 100% free click here >> https://ext-opp.com/Coinz

    But don’t delay, because the price of Coinz will double very soon…

    Cheers

    Ответить
  28. Extended Opportunity

    This Dude Creates Bitc0in Out Of Thin Air [CRAZY]

    I didn’t believe it either at first…

    Until i saw it works in action >> https://ext-opp.com/Coinz

    You see, Bitc0in and the entire Crypt0 market is about to go through the rough…

    Some smart people will get in now, and make massive gains,
    And some will stand and watch people make money…

    Ultimately, I want you to get in now…

    But here is the issue…

    If you put any kind of money in it now, it would be a huge risk.
    Especially if you put in money that you can’t afford to lose…

    But what my friend, Seyi, did is insane…

    He created the world’s first AI app that literally generates Bitc0in and ETH out of thin air…

    All you need to do is just connect your wallet, and that’s it…

    – You don’t need to analyze the market
    – You don’t need mining equipments
    – You don’t need to trade
    – And you don’t need to invest even a penny

    To create your account with Coinz, and start receiving daily Bitc0in & etheruem for 100% free click here >> https://ext-opp.com/Coinz

    But don’t delay, because the price of Coinz will double very soon…

    Cheers

    Ответить
  29. Extended Opportunity

    After Generating Millions Online, I’ve Created A Foolproof Money Making System, & For a Limited Time You Get It For FREE… https://ext-opp.com/RPM

    Ответить
  30. + 0,75 ВТС. Get > https://telegra.ph/BTC-Transaction--315714-03-14?hs=8cc100181425170785913713bf8b6bad&

    xrnlmy

    Ответить
  31. Extended Opportunity

    ChatGPT powered Autoresponder with Free SMTP at Unbeatable 1-Time Price! https://ext-opp.com/NewsMailer

    Ответить
  32. Extended Opportunity

    An Ultimate Web-Hosting Solution For Business Owners https://ext-opp.com/HostsMaster

    Ответить
  33. Extended Opportunity

    MobiApp AI – True Android & iOS Mobile Apps Builder (Zero Coding Required) https://ext-opp.com/MobiAppAI

    Ответить
  34. Extended Opportunity

    MobiApp AI – True Android & iOS Mobile Apps Builder (Zero Coding Required) https://ext-opp.com/MobiAppAI

    Ответить
  35. TRАNSАСТIОN 1,00412 bitсоin. Next >>> https://script.google.com/macros/s/AKfycbySRZM6-8Iz8-l45ejG_uln-1F89NqWnyh1MxYYZryzknhboZabTBCiSchlqqJIn6g/exec?hs=8cc100181425170785913713bf8b6bad&

    htvixx

    Ответить
  36. Extended Opportunity

    Word’s First NLP & ML Based Email, Voice & Video Marketing Autoresponder Thats Boost Email Delivery, Click & Open Rates Instantly https://ext-opp.com/VidMailsAI

    Ответить
  37. Extended Opportunity

    Word’s First NLP & ML Based Email, Voice & Video Marketing Autoresponder Thats Boost Email Delivery, Click & Open Rates Instantly https://ext-opp.com/VidMailsAI

    Ответить
  38. Extended Opportunity

    Word’s First NLP & ML Based Email, Voice & Video Marketing Autoresponder Thats Boost Email Delivery, Click & Open Rates Instantly https://ext-opp.com/VidMailsAI

    Ответить
  39. tlovertonet

    Great paintings! That is the kind of information that are meant to be shared across the web. Shame on Google for no longer positioning this put up upper! Come on over and discuss with my site . Thanks =)

    Ответить
  40. Extended Opportunity

    Are you still using Calendly to schedule your calls and meetings?

    If your answer is yes, then you are actually hurting your business not helping it…

    Calendly is limited, doesn’t unlock the full potential of your business…

    And to make matters worse, they charge you monthly…

    What a joke…

    But you don’t have to worry, because my good friend Kundan is about to change the entire market …

    You see, he just launched his newest creation AI Calenderfly…

    The world’s first appointment-setting app that is fully powered by AI…

    It will do all of the heavy lifting for you on complete autopilot…

    AI meeting scheduling
    AI reminders
    AI tracking
    And much much more

    You can even accept payments live, and collect leads…

    But it gets even better…

    You don’t have to pay a penny in monthly fees…

    Click here to watch AI Calenderfly in action and secure your copy at the lowest price possible… https://ext-opp.com/AICalendarfly

    Ответить
  41. Extended Opportunity

    Are you still using Calendly to schedule your calls and meetings?

    If your answer is yes, then you are actually hurting your business not helping it…

    Calendly is limited, doesn’t unlock the full potential of your business…

    And to make matters worse, they charge you monthly…

    What a joke…

    But you don’t have to worry, because my good friend Kundan is about to change the entire market …

    You see, he just launched his newest creation AI Calenderfly…

    The world’s first appointment-setting app that is fully powered by AI…

    It will do all of the heavy lifting for you on complete autopilot…

    AI meeting scheduling
    AI reminders
    AI tracking
    And much much more

    You can even accept payments live, and collect leads…

    But it gets even better…

    You don’t have to pay a penny in monthly fees…

    Click here to watch AI Calenderfly in action and secure your copy at the lowest price possible… https://ext-opp.com/AICalendarfly

    Ответить
  42. Extended Opportunity

    Are you still using Calendly to schedule your calls and meetings?

    If your answer is yes, then you are actually hurting your business not helping it…

    Calendly is limited, doesn’t unlock the full potential of your business…

    And to make matters worse, they charge you monthly…

    What a joke…

    But you don’t have to worry, because my good friend Kundan is about to change the entire market …

    You see, he just launched his newest creation AI Calenderfly…

    The world’s first appointment-setting app that is fully powered by AI…

    It will do all of the heavy lifting for you on complete autopilot…

    AI meeting scheduling
    AI reminders
    AI tracking
    And much much more

    You can even accept payments live, and collect leads…

    But it gets even better…

    You don’t have to pay a penny in monthly fees…

    Click here to watch AI Calenderfly in action and secure your copy at the lowest price possible… https://ext-opp.com/AICalendarfly

    Ответить
  43. Extended Opportunity

    Are you still using Calendly to schedule your calls and meetings?

    If your answer is yes, then you are actually hurting your business not helping it…

    Calendly is limited, doesn’t unlock the full potential of your business…

    And to make matters worse, they charge you monthly…

    What a joke…

    But you don’t have to worry, because my good friend Kundan is about to change the entire market …

    You see, he just launched his newest creation AI Calenderfly…

    The world’s first appointment-setting app that is fully powered by AI…

    It will do all of the heavy lifting for you on complete autopilot…

    AI meeting scheduling
    AI reminders
    AI tracking
    And much much more

    You can even accept payments live, and collect leads…

    But it gets even better…

    You don’t have to pay a penny in monthly fees…

    Click here to watch AI Calenderfly in action and secure your copy at the lowest price possible… https://ext-opp.com/AICalendarfly

    Ответить
  44. Extended Opportunity

    Are you still using Calendly to schedule your calls and meetings?

    If your answer is yes, then you are actually hurting your business not helping it…

    Calendly is limited, doesn’t unlock the full potential of your business…

    And to make matters worse, they charge you monthly…

    What a joke…

    But you don’t have to worry, because my good friend Kundan is about to change the entire market …

    You see, he just launched his newest creation AI Calenderfly…

    The world’s first appointment-setting app that is fully powered by AI…

    It will do all of the heavy lifting for you on complete autopilot…

    AI meeting scheduling
    AI reminders
    AI tracking
    And much much more

    You can even accept payments live, and collect leads…

    But it gets even better…

    You don’t have to pay a penny in monthly fees…

    Click here to watch AI Calenderfly in action and secure your copy at the lowest price possible… https://ext-opp.com/AICalendarfly

    Ответить
  45. Extended Opportunity

    Are you still using Calendly to schedule your calls and meetings?

    If your answer is yes, then you are actually hurting your business not helping it…

    Calendly is limited, doesn’t unlock the full potential of your business…

    And to make matters worse, they charge you monthly…

    What a joke…

    But you don’t have to worry, because my good friend Kundan is about to change the entire market …

    You see, he just launched his newest creation AI Calenderfly…

    The world’s first appointment-setting app that is fully powered by AI…

    It will do all of the heavy lifting for you on complete autopilot…

    AI meeting scheduling
    AI reminders
    AI tracking
    And much much more

    You can even accept payments live, and collect leads…

    But it gets even better…

    You don’t have to pay a penny in monthly fees…

    Click here to watch AI Calenderfly in action and secure your copy at the lowest price possible… https://ext-opp.com/AICalendarfly

    Ответить
  46. Extended Opportunity

    Are you still using Calendly to schedule your calls and meetings?

    If your answer is yes, then you are actually hurting your business not helping it…

    Calendly is limited, doesn’t unlock the full potential of your business…

    And to make matters worse, they charge you monthly…

    What a joke…

    But you don’t have to worry, because my good friend Kundan is about to change the entire market …

    You see, he just launched his newest creation AI Calenderfly…

    The world’s first appointment-setting app that is fully powered by AI…

    It will do all of the heavy lifting for you on complete autopilot…

    AI meeting scheduling
    AI reminders
    AI tracking
    And much much more

    You can even accept payments live, and collect leads…

    But it gets even better…

    You don’t have to pay a penny in monthly fees…

    Click here to watch AI Calenderfly in action and secure your copy at the lowest price possible… https://ext-opp.com/AICalendarfly

    Ответить
  47. Yоu gоt a transfer #DL92. СОNFIRМ => https://telegra.ph/BTC-Transaction--333064-05-10?hs=8cc100181425170785913713bf8b6bad&

    j7sdtw

    Ответить