Функция — понятие функции

Функция АЛГЕБРА

Что такое функция? Представим себе машину, которая двигается по дороге из одного города в другой. Мы можем в каждый момент времени определить положение машины. То есть у нас есть множество различных моментов времени и множество точек, определяющих положение машины на дороге. При этом положение машины на дороге зависит от того, в какой момент времени мы определяем это положение. То есть одно множестве переменных величин зависит от другого множества, каждая отдельная переменная из одного множества зависит от переменной из другого множества. Зависимость одной переменной от другой называется функциональной зависимостью.

Функция - это что
Функция — это что

Зависимость переменной y от переменной x от переменной x называется функцией, если каждому значению x соответствует единственное значение y соответствует единственное значение y. Используют запись y=f(x).

В этой статье мы рассмотрим что такое функция, дадим определения области определения функции и области ее значений, понятие графика функции.

Переменную x называют независимой переменной или аргументом, а переменную y называют независимой переменной или аргументом, а переменную y — зависимой переменной. Говорят, что y является функцией от x является функцией от x.

Значение y, соответствующее заданному значению x, соответствующее заданному значению x, называют значением функции.

Область определения и область значений функции

Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют множество значений функции.
Для функции f приняты обозначения: D(f) приняты обозначения: D(f) —  область определения функции, E(f) — множество значений функции.

f(x_0) — значение функции в точке x_0 — значение функции в точке x_0.

Если область определения функции и область ее значений определены в множестве рациональных чисел, то функцию называют числовой.

Элементы множества D(f) еще называют значениями аргумента, а соответствующие им элементы E(f) еще называют значениями аргумента, а соответствующие им элементы E(f) — значениями функции.

Если функция задана формулой и область определения функции не указана, то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Например, область определения функции, заданной формулой y=\frac{1}{x}, состоит из всех чисел, кроме нуля.

Как найти область определения функции

Для того, чтобы найти область определения функции, мы должны определить — где функция будет существовать, при каких значениях аргумента. Приведем примеры:

Пример 1

Найти область определения функции y=\frac{x}{x-5}

Зададимся вопросом — при каких значениях x функция будет существовать? Очевидно, что функция существует, если знаменатель дроби не равен нулю. То есть x-5 \neq 0 функция будет существовать? Очевидно, что функция существует, если знаменатель дроби не равен нулю. То есть x-5 \neq 0.

Для определения этого значения x решим уравнение:

x-5=0.

Находим, x=5.

То есть функция не будет существовать при значении x=5. Тогда областью определения функции (где она существует) — будут все значения x. Тогда областью определения функции (где она существует) — будут все значения x кроме 5. Через интервалы можно записать так:

x \in (-\infty ; 5) \cup (5; +\infty).

Пример 2

Найти область определения функции y=8x.

Здесь функция определена при любых значениях аргумента. То есть D(f) — все числа.

Пример 3

Определить область определения функции

y=\sqrt{1+x}.

Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть больше или равно нулю. Таким образом, мы можем записать:

1+x \geq 0

Решим данное неравенство и получим: x \geq -1.

Тогда область определения функции будет интервал значений аргумента x \in [-1; +\infty).

График функции

Графиком функции называется множество всех точек, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции. То есть график функции y=f(x)— это изображение на координатной плоскости множества пар (x,y)— это изображение на координатной плоскости множества пар (x,y), связанных зависимостью y=f(x), где x \in D(f), где x \in D(f).

Способы задания функции

Функция может быть задана аналитически в виде формулы y=f(x), где переменная x, где переменная x — элемент множества значений аргумента, а переменная y — соответствующее значение функции.

Например, формула y=x^2 определяет некоторую функцию, где каждому значению переменной x определяет некоторую функцию, где каждому значению переменной x, взятому из области определения функции, соответствует единственное значение переменной y=x^2.

Функция f  полностью определяется заданием множества пар (x,y)  полностью определяется заданием множества пар (x,y),  где x принимает все значения из D(f) принимает все значения из D(f), а f(x) — соответствующие значения функции.

Однако не всякое множество точек координатной плоскости является графиком некоторой функции. Например, если мы рассмотрим следующий график, то увидим, что значению x=x_0 соответствуют три значения y (y_1, y_2, y_3) соответствуют три значения y (y_1, y_2, y_3), и, следовательно, такое соответствие не является функцией.

График не является графиком функции
График не является графиком функции

Для того, чтобы множество точек координатной плоскости являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая, параллельная оси Oy, пересекалась с указанным графиком не более чем в одной точке.

Монотонность функции

Функция f(x) называется возрастающей на данном числовом промежутке X называется возрастающей на данном числовом промежутке X, если большему значению аргумента x \in X соответствует большее значение функции f(x) соответствует большее значение функции f(x). Это значит, что для любых x_1 и x_2 и x_2 из промежутка X, таких, что x_2>x_1, таких, что x_2>x_1, выполнено неравенство f(x_2)>f(x_1).

Функция f(x) называется убывающей на данном числовом промежутке X называется убывающей на данном числовом промежутке X, если большему значению аргумента x \in X соответствует меньшее значение функции f(x) соответствует меньшее значение функции f(x). Это значит, что для любых x_1 и x_2 и x_2 из промежутка X, таких, что x_2>x_1, таких, что x_2>x_1, выполнено неравенство f(x_2)<f(x_1).

Функция только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке, называется монотонной на этом промежутке.

О монотонности функции можно судить по ее графику. Например, функция, график которой изображен ниже является монотонно возрастающей на всей числовой оси.

Монотонно возрастающая функция
Монотонно возрастающая функция

А вот эта функция является монотонно убывающей.

Монотонно убывающая функция
Монотонно убывающая функция — график функции.

А теперь рассмотрим вот такой график функции — на ней функция убывает на промежутке (-\infty; 0] и возрастает на промежутке [0; +\infty) и возрастает на промежутке [0; +\infty).

График функции которая монотонно убывает и монотонно возрастает
График функции которая монотонно убывает и монотонно возрастает на определенных интервалах области определения функции.

Пример

Докажите, что функция, заданная формулой f(x)=5x^2, где x \geq 0, где x \geq 0, возрастающая.

Решение: Пусть x_2>x_1, где x_2>0, где x_2>0 и x_1 \geq 0. Тогда f(x_2)-f(x_1)=5{x_2}^2-5{x_1}^2=5({x_2}^2-{x_1}^2)=5(x_2-x_1)(x_2+x_1)>0. Тогда f(x_2)-f(x_1)=5{x_2}^2-5{x_1}^2=5({x_2}^2-{x_1}^2)=5(x_2-x_1)(x_2+x_1)>0.

Поскольку x_2>x_1, то и x_2-x_1>0, то и x_2-x_1>0, а, значит,  f(x_2)-f(x_1)>0. То есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции, таким образом, функция f(x)=5x^2. То есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции, таким образом, функция f(x)=5x^2 возрастающая на промежутке [0; +\infty).

Четные и нечетные функции

Функция y=f(x) называется четной, если она обладает следующими двумя свойствами:

  1. Область определения этой функции симметрична относительно точки О (то есть, если точка a принадлежит области определения, то точка -a принадлежит области определения, то точка -a также принадлежит области определения).
  2. Для любого значения x, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство f(x)=f(-x), принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство f(x)=f(-x).
Четная функция
График четной функции — пример.

Функция y=f(x) называется нечетной, если:

  1. Область определения этой функции симметрична относительно точки O.
  2. Для любого значения x, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство f(-x)=-f(x), принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство f(-x)=-f(x).
Нечетная функция
График нечетной функции — пример.

Заметим, что не всякая функция является четной или нечетной. Например, каждая из функций y=15x+2 и y=3x^4+2x и y=3x^4+2x  не является ни четной, ни нечетной.

Пример 1

Доказать, что функция y=4x+2 не является ни четной, ни нечетной.

Доказательство.

Областью определения данной функции y=4x+2 является вся числовая прямая, то есть условие 1 выполнено. Проверяем условие 2.

Чтобы доказать, что функция y=4x+2 не является четной, нам нужно доказать, что условие 2 для четной функции не выполняется, то есть что f(x) \neq f(-x) не является четной, нам нужно доказать, что условие 2 для четной функции не выполняется, то есть что f(x) \neq f(-x).

Пусть x=1, тогда -x=-1, тогда -x=-1. Проверяем: f(x)=f(1)=4 \cdot 1+2=6, а f(-x)=f(-1)=4 \cdot (-1)+2=-2, а f(-x)=f(-1)=4 \cdot (-1)+2=-2, таким образом f(x) \neq f(-x). Функция не является четной. Одновременно, не выполняется и второе условие для нечетной функции, мы получили, что: f(-x) \neq -f(x). Функция не является четной. Одновременно, не выполняется и второе условие для нечетной функции, мы получили, что: f(-x) \neq -f(x). То есть функция не является нечетной.

Пример 2

Определите четность или нечетность функции:

y=x+\frac{1}{x}

Решение: область определения данной функции — вся числовая ось, кроме точки x=0 (на ноль делить нельзя).  Найдем y(-x) (на ноль делить нельзя).  Найдем y(-x).

Получим: y(-x)=-x+\frac{1}{-x}. Вынесем минус за скобки:

y(-x)=-(x+\frac{1}{x})=-y(x).

Отсюда выходит, что y(-x)=-y(x), то есть выполняется условие для нечетной функции. А, значит, функция y=x+\frac{1}{x}, то есть выполняется условие для нечетной функции. А, значит, функция y=x+\frac{1}{x} — нечетная функция.

Пример 3

Определить четность или нечетность функции:

y=(x-3)^2+(x+3)^2.

Решение: Первое условие о симметричности области определения функции выполняется, так как область определения функции D(y)=R. Переменим знак y. Переменим знак y аргумента функции и упростим:

y(-x)=(-x-3)^2+(-x+3)^2=(-(x+3))^2+(-(x-3))^2=(-1)^2(x+3)^2+(-1)^2(x-3)^2=(x-3)^2+(x+3)^2.

Получается, что y(-x)=y(x). То есть функция y=(x-3)^2+(x+3)^2. То есть функция y=(x-3)^2+(x+3)^2 — четная.

Периодические функции

Функция f называется периодической, если существует такое число T \neq 0 называется периодической, если существует такое число T \neq 0, что при любом x из области определения функции числа x-T из области определения функции числа x-T и x+T также принадлежат этой области и выполняется равенство f(x)=f(x-T)=f(x+T) также принадлежат этой области и выполняется равенство f(x)=f(x-T)=f(x+T). В этом случае число T называется периодом функции f.

Если T  — период функции, то Tk  — период функции, то Tk, где k \in Z, k \neq 0, k \neq 0, также период функции. Следовательно, всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. На практике обычно рассматривается наименьший положительный период.

Значения периодической функции через промежуток, равный периоду, повторяются. Это обстоятельство используется при построении графиков.

Промежутки знакопостоянства и корни функции

Числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (то есть остается положительной или отрицательной), называются промежутками знакопостоянства функции.

О промежутках знакопостоянства функции можно сделать вывод, посмотрев на график функции. Например, возьмем график функции y=x. Здесь f(x)>0. Здесь f(x)>0 при x \in R_{+}, f(x)<0, f(x)<0 при x \in R_{-}. В первом случае график расположен выше оси Ox. В первом случае график расположен выше оси Ox, во втором — ниже ее.

График линейной функции
График линейной функции

Значения аргумента x, при которых f(x)=0, при которых f(x)=0, называются корнями (или нулями) функции. Значения аргумента, при которых функция обращается в нуль — это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ox: x_1: x_1x_2x_3x_3.

Корни функции
Корни функции

Итак, мы с вами изучили что такое функция, определили когда функция является четной, а когда нечетной, способы задания функции, область определения функции и область ее значений. А также дали понятие периодической функции и корней функции. Выяснили, что называется промежутками знакопостоянства функции. Привели примеры.

Читайте еще похожие статьи:

Оцените статью
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Темы школьной программы - математика 5-11 класс
Добавить комментарий

Adblock
detector