Понятие “арифметическая прогрессия” часто используется для описания числовых последовательностей, связанных определенным свойством. Что такое арифметическая прогрессия вы узнаете из курса алгебры 9 класс или из этой статьи.
Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, в которой каждый последующий член получается из предыдущего прибавлением к нему одного и того же числа, называемого разностью прогрессии. Разность прогрессии принято обозначать
.
Содержание
Формулы арифметической прогрессии
Если последовательность ,
,
,
,
,
,
является арифметической прогрессией, разность которой
, то любой член этой прогрессии вычисляется по формуле:
Сумма первых
членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
Если в этой формуле заменить , то получим:
Задачи на арифметическую прогрессию
Задача 1
Третий член арифметической прогрессии равен 4, а шестой член равен -5. Сколько нужно взять членов, чтобы их сумма была равна -4.
Решение: По условию задачи имеем ,
,
. Надо найти
.
Применяя формулу любого члена арифметической прогрессии, составим систему:
Решая систему, получим: ,
.
Подставим теперь известные ,
и
в формулу суммы арифметической прогрессии, будем иметь:
откуда (
не удовлетворяет условиям задачи).
Искомая прогрессия имеет вид: 10, 7, 4, 1, -2, -5, -8, -11, -14…
Задача 2
Найти прогрессию, зная, что сумма первого и пятого членов ее равна 12, а произведение второго члена на четвертый равно 32.
Решение: По первому условию . Следовательно,
;
;
.
По второму условию или
.
В полученном равенстве заменим равенством
;
;
;
откуда и
.
При первый член арифметической прогрессии
и искомая прогрессия имеет вид: 2, 4, 6, 8, 10, 12…
При первый член арифметической прогрессии
и искомая прогрессия имеет вид: 10, 8. 6, 4, 2, 0, -2, -4…
Обе полученные прогрессии удовлетворяют условиям задачи.