...

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия АЛГЕБРА

Понятие “арифметическая прогрессия” часто используется для описания числовых последовательностей, связанных определенным свойством. Что такое арифметическая прогрессия вы узнаете из курса алгебры 9 класс или из этой статьи.

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, в которой каждый последующий член получается из предыдущего прибавлением к нему одного и того же числа, называемого разностью прогрессии. Разность прогрессии принято обозначать d.

Формулы арифметической прогрессии

Если последовательность a_1, a_2, a_3, a_4, ..., a_{n-1}, a_n является арифметической прогрессией, разность которой d=a_{n+1}-a_n, то любой член этой прогрессии вычисляется по формуле:

    \[\boxed {a_n=a_1+(n-1) \cdot d}\]

Сумма S_n первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

    \[\boxed {S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}}\]

Если в этой формуле заменить a_n=a_1+(n-1) \cdot d, то получим:

    \[\boxed {S_n=\frac{2a_1+d \cdot (n-1)}{2} \cdot n}\]

Задачи на арифметическую прогрессию

Задача 1

Третий член арифметической прогрессии равен 4, а шестой член равен -5. Сколько нужно взять членов, чтобы их сумма была равна -4.

Решение: По условию задачи имеем a_3=4a_6=-5S_n=-4. Надо найти n.

Применяя формулу любого члена арифметической прогрессии, составим систему:

    \[\left\{ \begin{aligned} 4=a_1+2d\\ -5=a_1+5d\\ \end{aligned} \right.\]

Решая систему, получим: a_1=10, d=-3.

Подставим теперь известные S_n, a_1 и d в формулу суммы арифметической прогрессии, будем иметь:

    \[-4=\frac{2\cdot 10+(-3)(n-1)}{2} \cdot n\]

    \[-8=(20-3n+3)n\]

    \[-8=(23-3n)n\]

    \[-8=23n-n^2\]

    \[3n^2-23n-8=0\]

    \[n=\frac{23 \pm \sqrt{529+96}}{6}=\frac{23 \pm 25}{6}\]

откуда n=8 (n=-\frac{1}{3} не удовлетворяет условиям задачи).

Искомая прогрессия имеет вид: 10, 7, 4, 1, -2, -5, -8, -11, -14…

Задача 2

Найти прогрессию, зная, что сумма первого и пятого членов ее равна 12, а произведение второго члена на четвертый равно 32.

Решение: По первому условию a_1+a_5=12. Следовательно,

a_1+a_1+4d=12;

2a_1+4d=12;

a_1=6-2d.

По второму условию a_2 \cdot a_4=32 или (a_1+d)\cdot (a_1+3d)=32.

В полученном равенстве заменим a_1 равенством

(6-2d+d) \cdot (6-2d+3d)=32

(6-d) \cdot (6+d)=32;

36-d^2=32;

d^2=4;

откуда d_1=2 и d_2=-2.

При d_1=2 первый член арифметической прогрессии a_1=6-4=2 и искомая прогрессия имеет вид: 2, 4, 6, 8, 10, 12…

При d_2=-2 первый член арифметической прогрессии a_1=6+4=10 и искомая прогрессия имеет вид: 10, 8. 6, 4, 2, 0, -2, -4…

Обе полученные прогрессии удовлетворяют условиям задачи.

Оцените статью
( 3 оценки, среднее 5 из 5 )
Поделиться с друзьями
Темы школьной программы - математика 5-11 класс
Добавить комментарий