Четверг, 31 марта 2022   Подписка на обновления
Четверг, 31 марта 2022   Подписка на обновления
Популярно
Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия


Понятие «арифметическая прогрессия» часто используется для описания числовых последовательностей, связанных определенным свойством. Что такое арифметическая прогрессия вы узнаете из курса алгебры 9 класс или из этой статьи.

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, в которой каждый последующий член получается из предыдущего прибавлением к нему одного и того же числа, называемого разностью прогрессии. Разность прогрессии принято обозначать d.

Формулы арифметической прогрессии

Если последовательность a_1, a_2, a_3, a_4, ..., a_{n-1}, a_n является арифметической прогрессией, разность которой d=a_{n+1}-a_n, то любой член этой прогрессии вычисляется по формуле:

    \[\boxed {a_n=a_1+(n-1) \cdot d}\]

Сумма S_n первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

    \[\boxed {S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}}\]

Если в этой формуле заменить a_n=a_1+(n-1) \cdot d, то получим:

    \[\boxed {S_n=\frac{2a_1+d \cdot (n-1)}{2} \cdot n}\]

Задачи на арифметическую прогрессию

Задача 1

Третий член арифметической прогрессии равен 4, а шестой член равен -5. Сколько нужно взять членов, чтобы их сумма была равна -4.

Решение: По условию задачи имеем a_3=4a_6=-5S_n=-4. Надо найти n.

Применяя формулу любого члена арифметической прогрессии, составим систему:

    \[\left\{ \begin{aligned} 4=a_1+2d\\ -5=a_1+5d\\ \end{aligned} \right.\]

Решая систему, получим: a_1=10, d=-3.

Подставим теперь известные S_n, a_1 и d в формулу суммы арифметической прогрессии, будем иметь:

    \[-4=\frac{2\cdot 10+(-3)(n-1)}{2} \cdot n\]

    \[-8=(20-3n+3)n\]

    \[-8=(23-3n)n\]

    \[-8=23n-n^2\]

    \[3n^2-23n-8=0\]

    \[n=\frac{23 \pm \sqrt{529+96}}{6}=\frac{23 \pm 25}{6}\]

откуда n=8 (n=-\frac{1}{3} не удовлетворяет условиям задачи).

Искомая прогрессия имеет вид: 10, 7, 4, 1, -2, -5, -8, -11, -14…

Задача 2

Найти прогрессию, зная, что сумма первого и пятого членов ее равна 12, а произведение второго члена на четвертый равно 32.

Решение: По первому условию a_1+a_5=12. Следовательно,

a_1+a_1+4d=12;

2a_1+4d=12;

a_1=6-2d.

По второму условию a_2 \cdot a_4=32 или (a_1+d)\cdot (a_1+3d)=32.

В полученном равенстве заменим a_1 равенством

(6-2d+d) \cdot (6-2d+3d)=32

(6-d) \cdot (6+d)=32;

36-d^2=32;

d^2=4;

откуда d_1=2 и d_2=-2.

При d_1=2 первый член арифметической прогрессии a_1=6-4=2 и искомая прогрессия имеет вид: 2, 4, 6, 8, 10, 12…

При d_2=-2 первый член арифметической прогрессии a_1=6+4=10 и искомая прогрессия имеет вид: 10, 8. 6, 4, 2, 0, -2, -4…

Обе полученные прогрессии удовлетворяют условиям задачи.

Об авторе: Ольга Викторовна


© 2022 Темы школьной программы — математика 5-11 класс
Дизайн и поддержка: GoodwinPress.ru