Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия

Понятие “арифметическая прогрессия” часто используется для описания числовых последовательностей, связанных определенным свойством. Что такое арифметическая прогрессия вы узнаете из курса алгебры 9 класс или из этой статьи.

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, в которой каждый последующий член получается из предыдущего прибавлением к нему одного и того же числа, называемого разностью прогрессии. Разность прогрессии принято обозначать $d$ .

Содержание

Формулы арифметической прогрессии

Если последовательность $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , $a_4$ , $...$ , $a_{n-1}$ , $a_n$ является арифметической прогрессией, разность которой $d=a_{n+1}-a_n$ , то любой член этой прогрессии вычисляется по формуле:

$\boxed {a_n=a_1+(n-1) \cdot d}$

Сумма $S_n$ первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$\boxed {S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}}$

Если в этой формуле заменить $a_n=a_1+(n-1) \cdot d$ , то получим:

$\boxed {S_n=\frac{2a_1+d \cdot (n-1)}{2} \cdot n}$

Задачи на арифметическую прогрессию

Задача 1

Третий член арифметической прогрессии равен 4, а шестой член равен -5. Сколько нужно взять членов, чтобы их сумма была равна -4.

Решение: По условию задачи имеем $a_3=4$ , $a_6=-5$ , $S_n=-4$ . Надо найти $n$ .

Применяя формулу любого члена арифметической прогрессии, составим систему:

$\left\{ \begin{aligned} 4=a_1+2d\\ -5=a_1+5d\\ \end{aligned} \right.$

Решая систему, получим: $a_1=10$ , $d=-3$ .

Подставим теперь известные $S_n$ , $a_1$ и $d$ в формулу суммы арифметической прогрессии, будем иметь:

$-4=\frac{2\cdot 10+(-3)(n-1)}{2} \cdot n$

$-8=(20-3n+3)n$

$-8=(23-3n)n$

$-8=23n-n^2$

$3n^2-23n-8=0$

$n=\frac{23 \pm \sqrt{529+96}}{6}=\frac{23 \pm 25}{6}$

откуда $n=8$ ( $n=-\frac{1}{3}$ не удовлетворяет условиям задачи).

Искомая прогрессия имеет вид: 10, 7, 4, 1, -2, -5, -8, -11, -14…

Задача 2

Найти прогрессию, зная, что сумма первого и пятого членов ее равна 12, а произведение второго члена на четвертый равно 32.

Решение: По первому условию $a_1+a_5=12$ . Следовательно,

$a_1+a_1+4d=12$ ;

$2a_1+4d=12$ ;

$a_1=6-2d$ .

По второму условию $a_2 \cdot a_4=32$ или $(a_1+d)\cdot (a_1+3d)=32$ .

В полученном равенстве заменим $a_1$ равенством

$(6-2d+d) \cdot (6-2d+3d)=32$

$(6-d) \cdot (6+d)=32$ ;

$36-d^2=32$ ;

$d^2=4$ ;

откуда $d_1=2$ и $d_2=-2$ .

При $d_1=2$ первый член арифметической прогрессии $a_1=6-4=2$ и искомая прогрессия имеет вид: 2, 4, 6, 8, 10, 12…

При $d_2=-2$ первый член арифметической прогрессии $a_1=6+4=10$ и искомая прогрессия имеет вид: 10, 8. 6, 4, 2, 0, -2, -4…

Обе полученные прогрессии удовлетворяют условиям задачи.

( 3 оценки, среднее 5 из 5 )

Добавить комментарий