Решение №12 (2021 вар1): найдите наименьшее значение функции y=4sinx-6x+7 на отрезке [-3pi/2; 0]

Найдите наименьшее значение функции $y=4sinx-6x+7$ на отрезке $[\frac{-3\pi}{2}; 0]$

Решение

Чтобы определить наименьшее или наибольшее значение функции — то есть минимум или максимум функции, нужно сначала найти критические точки — то есть те точки — значения переменной $x$ , в которых значение функции ( $y$ ) будет наибольшим или наименьшим. Для этого нужно сначала найти производную исходной функции, приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение.

Итак, ищем производную функции $y$ :

$y ^\prime = 4 (sin x) ^\prime -6(x)^\prime +(7)^\prime=4cosx-6$

полученную производную приравниваем к нулю и решаем уравнение:

$4cosx-6=0$ ;

$4cosx=6$

$cosx=\frac {6}{4}=\frac{3}{2}=1,5$

Мы знаем, что косинус любого аргумента принимает значение в интервале [-1; 1], поэтому никак не может быть равен 1,5. Значит, критических точек нет.

Если критических точек нет — то задача упрощается — нам нужно просто подсчитать значения функции на границах отрезка и выбрать наименьшее из полученных значений.

$y(-\frac{3\pi}{2})=4sin(\frac{-3\pi}{2})-\frac {6\cdot (-3 \pi)}{2}+7=4+9\pi +7=11+9\pi \approx 39,26$