Квадратное уравнение

Квадратное уравнение — важное уравнение не только в школьном курсе алгебры. Квадратное уравнение часто используется в геометрии при расчете. Поэтому знать формулы корней квадратного уравнения, чтобы решать его быстрее, нужно всем.

Содержание

Определение квадратного уравнения

Квадратное уравнение — это уравнение вида $ax^2+bx+c=0$ , где $x$ — переменная, $a$ , $b$ , $c$ — некоторые числа, причем $a \neq 0$ . В квадратном уравнении $ax^2+bx+c=0$ коэффициент $a$ называют первым коэффициентом, $b$ — вторым коэффициентом, $c$ — свободным членом.

Формула корней

Формула корней квадратного уравнения имеет вид:

$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Выражение $b^2-4ac$ называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой $D$ .

Влияние дискриминанта на корни квадратного уравнения

Максимальное количество корней квадратного уравнения равно степени уравнения. Квадратное уравнение имеет вторую степень переменной, поэтому и должно иметь два корня. Однако возможны случаи совпадения корней, тогда формально говорят, что «уравнение имеет один корень», хотя правильнее говорить — «уравнение имеет одно значение переменной», или «корни уравнения совпадают и равны…» Есть еще вариант, что уравнение не имеет действительных корней или не имеет действительных решений. Узнать о том — решается квадратное уравнение и сколько имеет корней можно вычислив дискриминант.

Если $D=0$ , то существует только одно значение переменной, удовлетворяющее уравнению $ax^2+bx+c=0$ . Однако условились говорить, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных действительных корня, а само число $\displaystyle - \frac{b}{2a}$ называют корнем кратности два.
Если $D<0$ , то квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Если $D>0$ , то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.

Приведенное квадратное уравнение

Пусть дано квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$ . Так как $a \neq 0$ , то, разделив обе части уравнения на $a$ , получим уравнение $\displaystyle x^2+ \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0$ . Считая, что $\displaystyle \frac{b}{a}=p$ и $\displaystyle \frac{c}{a}=q$ , получим уравнение $\displaystyle x^2+px+q=0$ , в котором первый коэффициент равен 1. Это уравнение называется приведенным.

Формула корней приведенного квадратного уравнения имеет вид:

$\displaystyle x_{1,2}=- \frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}$

Неполные квадратные уравнения

Уравнения вида $ax^2+bx=0$ $(c=0)$ , $ax^2+c=0$ $(b=0)$ и $ax^2=0$ $(b=0, c=0)$ называются квадратными уравнениями.

Биквадратное уравнение

Уравнение вида $ax^4+bx^2+c=0$ называется биквадратным уравнением. Оно решается с помощью замены переменной по формуле $x^2=t$ и приводится к квадратному уравнению $at^2+bt+c=0$ .

Примеры решения квадратного уравнения

Уравнение 1

Решите уравнение $x^2+5x-6=0$

Решение:Найдем дискриминант $D=25+24=49$ , $D>0$ .

Найдем корни уравнения по формуле корней квадратного уравнения: $\displaystyle x_{1,2}=\frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2}$ .

Отсюда

$\displaystyle x_{1}= \frac{-5-7}{2}=-6$ , $\displaystyle x_{2}=\frac{-5+7}{2}=1$ .

Ответ: $x_{1}=-6$ , $x_{2}=1$ .

Уравнение 2

Решите уравнение $2x^2-3x+1=0$ .

Решение: находим дискриминант $D=3^2-4 \cdot 2 \cdot 1=1$ , $D>0$ . Применим формулу корней квадратного уравнения: $\displaystyle x_{1,2}=\frac{3 \pm \sqrt{1}}{4}$ . Тогда