Квадратное уравнение — важное уравнение не только в школьном курсе алгебры. Квадратное уравнение часто используется в геометрии при расчете. Поэтому знать формулы корней квадратного уравнения, чтобы решать его быстрее, нужно всем.
Содержание
Определение квадратного уравнения
Квадратное уравнение — это уравнение вида , где
— переменная,
,
,
— некоторые числа, причем
. В квадратном уравнении
коэффициент
называют первым коэффициентом,
— вторым коэффициентом,
— свободным членом.
Формула корней
Формула корней квадратного уравнения имеет вид:
Выражение
называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой
.
Влияние дискриминанта на корни квадратного уравнения
Максимальное количество корней квадратного уравнения равно степени уравнения. Квадратное уравнение имеет вторую степень переменной, поэтому и должно иметь два корня. Однако возможны случаи совпадения корней, тогда формально говорят, что «уравнение имеет один корень», хотя правильнее говорить — «уравнение имеет одно значение переменной», или «корни уравнения совпадают и равны…» Есть еще вариант, что уравнение не имеет действительных корней или не имеет действительных решений. Узнать о том — решается квадратное уравнение и сколько имеет корней можно вычислив дискриминант.
- Если
, то существует только одно значение переменной, удовлетворяющее уравнению
. Однако условились говорить, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных действительных корня, а само число
называют корнем кратности два.
- Если
, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.
- Если
, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.
Приведенное квадратное уравнение
Пусть дано квадратное уравнение . Так как
, то, разделив обе части уравнения на
, получим уравнение
. Считая, что
и
, получим уравнение
, в котором первый коэффициент равен 1. Это уравнение называется приведенным.
Формула корней приведенного квадратного уравнения имеет вид:
Неполные квадратные уравнения
Уравнения вида
,
и
называются квадратными уравнениями.
Биквадратное уравнение
Уравнение вида называется биквадратным уравнением. Оно решается с помощью замены переменной по формуле
и приводится к квадратному уравнению
.
Примеры решения квадратного уравнения
Уравнение 1
Решите уравнение
Решение:Найдем дискриминант ,
.
Найдем корни уравнения по формуле корней квадратного уравнения: .
Отсюда
,
.
Ответ: ,
.
Уравнение 2
Решите уравнение .
Решение: находим дискриминант ,
. Применим формулу корней квадратного уравнения:
. Тогда
,
.
Ответ: ,
.
Уравнение 3
Решите уравнение .
Решение: найдем дискриминант ,
. Так как дискриминант отрицателен, то уравнение не имеет корней.
Ответ: нет корней.
Уравнение 4
Решите уравнение
Решение: находим дискриминант ,
. Применим формулу корней квадратного уравнения
.
Отсюда
,
Таким образом, уравнение имеет единственный корень .
Ответ:
Уравнение 5
Решите квадратное уравнение
Решение: Применим формулу корней для приведенного квадратного уравнения: . Отсюда
,
.
Ответ: ,
.