Квадратное уравнение

Квадратное уравнение АЛГЕБРА

Квадратное уравнение — важное уравнение не только в школьном курсе алгебры. Квадратное уравнение часто используется в геометрии при расчете. Поэтому знать формулы корней квадратного уравнения, чтобы решать его быстрее, нужно всем.

Определение квадратного уравнения

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax^2+bx+c=0, где x — переменная, a, b, c — некоторые числа, причем a \neq 0. В квадратном уравнении ax^2+bx+c=0 коэффициент a называют первым коэффициентом, b — вторым коэффициентом, c — свободным членом.

Формула корней

Формула корней квадратного уравнения имеет вид:

\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Выражение b^2-4ac называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D.

Влияние дискриминанта на корни квадратного уравнения

Максимальное количество корней квадратного уравнения равно степени уравнения. Квадратное уравнение имеет вторую степень переменной, поэтому и должно иметь два корня. Однако возможны случаи совпадения корней, тогда формально говорят, что «уравнение имеет один корень», хотя правильнее говорить — «уравнение имеет одно значение переменной», или «корни уравнения совпадают и равны…» Есть еще вариант, что уравнение не имеет действительных корней или не имеет действительных решений. Узнать о том — решается квадратное уравнение и сколько имеет корней можно вычислив дискриминант.

  1. Если D=0, то существует только одно значение переменной, удовлетворяющее уравнению ax^2+bx+c=0. Однако условились говорить, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных действительных корня, а само число \displaystyle - \frac{b}{2a} называют корнем кратности два.
  2. Если D<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.
  3. Если D>0, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.

Приведенное квадратное уравнение

Пусть дано квадратное уравнение ax^2+bx+c=0. Так как a \neq 0, то, разделив обе части уравнения на a, получим уравнение \displaystyle x^2+ \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0. Считая, что \displaystyle \frac{b}{a}=p и \displaystyle \frac{c}{a}=q, получим уравнение \displaystyle x^2+px+q=0, в котором первый коэффициент равен 1. Это уравнение называется приведенным.

Формула корней приведенного квадратного уравнения имеет вид:

\displaystyle x_{1,2}=- \frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}

Неполные квадратные уравнения

Уравнения вида ax^2+bx=0  (c=0), ax^2+c=0  (b=0) и ax^2=0 (b=0, c=0) называются квадратными уравнениями.

Биквадратное уравнение

Уравнение вида ax^4+bx^2+c=0  называется биквадратным уравнением. Оно решается с помощью замены переменной по формуле x^2=t и приводится к квадратному уравнению at^2+bt+c=0.

Примеры решения квадратного уравнения

Уравнение 1

Решите уравнение x^2+5x-6=0

Решение:Найдем дискриминант D=25+24=49, D>0.

Найдем корни уравнения по формуле корней квадратного уравнения: \displaystyle x_{1,2}=\frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2}.

Отсюда

\displaystyle x_{1}= \frac{-5-7}{2}=-6,       \displaystyle x_{2}=\frac{-5+7}{2}=1.

Ответ: x_{1}=-6x_{2}=1.

Уравнение 2

Решите уравнение 2x^2-3x+1=0.

Решение: находим дискриминант D=3^2-4 \cdot 2 \cdot 1=1, D>0. Применим формулу корней квадратного уравнения: \displaystyle x_{1,2}=\frac{3 \pm \sqrt{1}}{4}. Тогда

\displaystyle x_{1}=\frac{1}{2}, \displaystyle x_{2}=1.

Ответ: x_{1}=0,5x_{2}=1.

Уравнение 3

Решите уравнение 2x^2-3x+4=0.

Решение: найдем дискриминант D=3^2-4 \cdot 2 \cdot 4=9-32, D<0. Так как дискриминант отрицателен, то уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

Уравнение 4

Решите уравнение 9x^2+6x+1=0

Решение: находим дискриминант D=6^2-4 \cdot 9 \cdot 1=36-36=0, D=0. Применим формулу корней квадратного уравнения

\displaystyle x_{1,2}=\frac{-6 \pm \sqrt{0}}{18}.

Отсюда

\displaystyle x_{1}=\frac{-6+0}{18}=-\frac{1}{3},

\displaystyle x_{2}=\frac{-6-0}{18}=-\frac{1}{3}

Таким образом, уравнение имеет единственный корень \displaystyle x_{1,2}=- \frac{1}{3}.

Ответ: \displaystyle x_{1,2}=- \frac{1}{3}

Уравнение 5

Решите квадратное уравнение x^2-10x+24=0

Решение: Применим формулу корней для приведенного квадратного уравнения: x_{1,2}=5 \pm 1. Отсюда x_1=5-1=4x_2=5+1=6.

Ответ: x_1=4x_2=6.

Оцените статью
( 2 оценки, среднее 5 из 5 )
Репетитор по математике
Подписаться
Уведомить о
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии