Это начало задачи из второй части геометрии всероссийского экзамена по математике ОГЭ (ГИА) под номером 26. Вся задача звучит так: Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 18 и 22 от вершины A.
Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если
Решим задачу.
Сделаем рисунок. На рисунке покажем окружность, как она пересекает треугольник и обозначим точки пересечения окружности с треугольником. Это будут точки M, N и P. Соединим точку P с точками M и N.
Заметим, что полученный нами треугольник PMN полностью вписан в окружность. Значит, если мы сможем найти какие то из его сторон или углов, то применим теорему синусов мы сможем найти и радиус описанной окружности.
Итак, цель нам ясна. Теперь начнем к ней двигаться.
Нам нужно подобраться к сторонам вписанного треугольника, а нам известна пока только одна его сторона MN=AN-AM=22-18=4.
Найдем сторону PM треугольника. Для этого рассмотрим треугольник APM. В этом треугольнике нам известен только косинус угла А (из условия задачи) и известна сторона AM=18. Однако, мы знаем, что AP – это часть касательной к окружности, и нам известны также внешняя часть секущей AM и вся длина секущей AN.
Тогда по теореме о касательной и секущей имеем:
Отсюда найдем
Теперь, зная две стороны AM и AP и косинус угла А, по теореме косинусов мы можем найти сторону PM треугольника APM, которая также является стороной треугольника MPN.
Во вписанном треугольнике MPN мы теперь знаем две стороны треугольника MP и MN.
Теперь рассмотрим вопрос с углами. Нам известен только угол А через данный нам косинус этого угла. Но так как мы получили в ходе расчетов, что треугольник APM равнобедренный, то углы
Найдем угол Заметим, что
А угол
, тогда
Теперь по теореме косинусов найдем сторону PN треугольника PMN:
Из тригонометрии известно:
Тогда
Подставляя значения, получим:
По теореме синусов для любого треугольника соблюдается равенство:
Для нашего вписанного треугольника PMN теорема синусов запишется следующим образом:
Для того, чтобы найти радиус описанной окружности нам необязательно высчитывать все синусы в формуле. И мы можем, безо всякого ущерба для решения нашей задачи, сократить формулу, оставив ее в виде:
Отсюда:
, подставляем значение косинуса угла А, данное по условию задачи, получим:
Отсюда, окончательно:
Ответ: R=10,8