Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC

Это начало задачи из второй части геометрии всероссийского экзамена по математике ОГЭ (ГИА) под номером 26. Вся задача звучит так: Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 18 и 22 от вершины A.

Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если $cos(\angle BAC)={{\sqrt(11)}\over{6}}$
Решим задачу.

Сделаем рисунок. На рисунке покажем окружность, как она пересекает треугольник и обозначим точки пересечения окружности с треугольником. Это будут точки M, N и P. Соединим точку P с точками M и N.

Заметим, что полученный нами треугольник PMN полностью вписан в окружность. Значит, если мы сможем найти какие то из его сторон или углов, то применим теорему синусов мы сможем найти и радиус описанной окружности.

Итак, цель нам ясна. Теперь начнем к ней двигаться.

Нам нужно подобраться к сторонам вписанного треугольника, а нам известна пока только одна его сторона MN=AN-AM=22-18=4.

Найдем сторону PM треугольника. Для этого рассмотрим треугольник APM. В этом треугольнике нам известен только косинус угла А (из условия задачи) и известна сторона AM=18. Однако, мы знаем, что AP – это часть касательной к окружности, и нам известны также внешняя часть секущей AM и вся длина секущей AN.

Тогда по теореме о касательной и секущей имеем:

$AP^2=AM\cdot AN$

Отсюда найдем $AP=\sqrt{18\cdot 22}=6\sqrt{11}$

Теперь, зная две стороны AM и AP и косинус угла А, по теореме косинусов мы можем найти сторону PM треугольника APM, которая также является стороной треугольника MPN.

$PM^2=AP^2+AM^2-2AP\cdot AM\cdot cos\angle BAC$

Подставляем значения и получаем: $PM =\sqrt{ (6\sqrt11)^2+18^2-2\cdot 18 \cdot 6\sqrt11 \cdot {{\sqrt(11)}\over{6}}} = 18$

Таким образом, треугольник AMP – равнобедренный, так как стороны у него PM=AM.

Во вписанном треугольнике MPN мы теперь знаем две стороны треугольника MP и MN.

Теперь рассмотрим вопрос с углами. Нам известен только угол А через данный нам косинус этого угла. Но так как мы получили в ходе расчетов, что треугольник APM равнобедренный, то углы $\angle PAM =\angle APM$

Найдем угол $\angle PMN$ Заметим, что $\angle PMN = 180^0-\angle AMP$ А угол $\angle AMP = 180^0-2\cdot\angle A$ , тогда $\angle PMN = 180^0-(180^0-2\cdot\angle A) = 2\cdot\angle A$

Теперь по теореме косинусов найдем сторону PN треугольника PMN:

$PN^2=MP^2+MN^2-2MN\cdot MP\cdot cos\angle PMN$

или $PN^2=MP^2+MN^2-2MN\cdot MP\cdot cos {2\angle A}$

Из тригонометрии известно:

$cos {2\alpha}={cos^2 \alpha}-{sin^2 \alpha}={cos^2 \alpha}-(1-{cos^2 \alpha})=2{cos^2 \alpha}-1$

Тогда $PN^2=MP^2+MN^2-2MN\cdot MP\cdot (2{cos^2 \angle A}-1)$

Подставляя значения, получим:

$PN^2=18^2+4^2-2\cdot4\cdot 18\cdot ( 2({{\sqrt(11)}\over{6}})^2-1)=396$

тогда $PN = \sqrt{396}=6\sqrt{11}$

таким образом треугольник АPN тоже является равнобедренным, у него стороны AP=PN, тогда $\angle PNA= \angle A$ .

По теореме синусов для любого треугольника соблюдается равенство:

$2R={{a}\over{sin \alpha}}+{{b}\over{sin \beta}} + {{c}\over{sin \gamma}}$

Для нашего вписанного треугольника PMN теорема синусов запишется следующим образом:

$2R={{PN}\over{sin \angle PMN}}+{{PM}\over{sin \angle PNM}} + {{MN}\over{sin \angle MPN}}$

Для того, чтобы найти радиус описанной окружности нам необязательно высчитывать все синусы в формуле. И мы можем, безо всякого ущерба для решения нашей задачи, сократить формулу, оставив ее в виде:
$2R={{PN}\over{sin \angle PMN}}$

Отсюда: $R={{PM}\over{2 sin \angle PNM}} = {{PM}\over{2sin \angle A}}$ $sin \angle A= \sqrt {1-cos^2 \angle A}$ , подставляем значение косинуса угла А, данное по условию задачи, получим:

$sin \angle A =5/6$

Отсюда, окончательно:
$R={{18}\over{2 \cdot 5/6}}= {{18 \cdot 6}\over{10}}=10,8$

Ответ: R=10,8