Темы школьной программы — математика 5-11 класс. Маша и Медведь съели печенье и варенье

Маша и Медведь едят варенье и печенье — это задача №20 из базового уровня математики ЕГЭ — рассмотрим ее решение и возможные варианты.

Маша и медведь съели 100 печений и банку варенья

Задача. Маша и медведь съели 100 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь печенья, но в какой то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в три раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну.

Решение.

Возьмем за маркер времени — время съедания Машей пол банки варенья. Значит, пока Маша ела свои пол банки варенья, Медведь съел x печений. Теперь они поменялись и Медведь ест свои полбанки варенья. Ест он варенье в три раза быстрее Маши. То есть, к примеру, если Маша ест полбанки варенья t времени, то Медведь ест те же полбанки варенья за t/3 времени. Таким образом, если Медведь за t времени съедает x печения, то после обмена — за t/3 времени Медведь съел бы x/3 печенья, но Маша съест в три раза меньше — то есть x/9 печенья. Вместе (x+x/9) составляет 100 печений, получаем уравнение:

$x+\frac{x}{9}=100$ ,

Решаем уравнение, получаем:

$x=90$ , таким образом медведь съест 90 печений, а Маша 10.

В ответ запишем число 90.

Маша и медведь съели 160 печений и банку варенья

Задача. Маша и медведь съели 160 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь печенья, но в какой то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в три раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну.

Решение. Задачу решаем аналогично. Пусть Маша ела полбанки варенья t времени, а Миша те же полбанки варенья ел t/3 времени. Пока Маша если свои полбанки варенья, пусть Миша съел x печений. Так как Маша ест медленнее в три раза, значит, свои полбанки варенья Медведь съест за t/3 времени. Таким образом, Медведь за это время съел бы x/3 печенья, если бы соревновался сам с собой, но он соревнуется с Машей, которая ест в три раза меньше, то есть Маша съест x/9 печенья, таким образом, вместе они съедят 160 печений. Получаем уравнение:

$x+x/9=160$

$\frac{10x}{9}=160$

$\frac{x}{9}=16$

$x=144$

Таким образом, Медведь съест 144 печений, а Маша только 16.

Ответ: 144

Источник: Сборник задач для подготовки к ЕГЭ по математике под редакцией Ященко.

Фактически все сводится к уравнению — сумме печений, где первое слагаемое — это предполагаемое число печений, съеденное Медведем, а второе слагаемое — получено из первого путем делений первого на коэффициент 9 — во сколько раз Маша ест медленнее, с учетом того, что Медведь ест быстрее. Данная сумма равна количеству печений, съеденных вместе и Машей и Медведем.

Еще задача такого же плана.

Маша и Медведь съели вместе 51 печений

Маша и медведь съели 51 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь печенья, но в какой то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в четыре раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну.

Решение. Итак, пока Маша ест свои полбанки варенья, Медведь съест x печений. Теперь они поменялись и Медведь ест свои пол банки варенья в четыре раза быстрее, то есть если бы такой же Медведь сидел рядом и ел печенье, то он бы съел x/4 всего. Но если Медведь ест в 4 раза быстрее, то Маша ест в 4 раза медленнее, значит, она бы съела всего x/16 печений. Известно, что вместе они съели $x+x/16=51$ печений. Решим полученное уравнение: