Маша и Медведь съели печенье и варенье

Маша и Медведь едят варенье и печенье – это задача №20 из базового уровня математики ЕГЭ – рассмотрим ее решение и возможные варианты.

Маша и медведь съели 100 печений и банку варенья

Задача. Маша и медведь съели 100 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь печенья, но в какой то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в три раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну.

Решение.

Возьмем за маркер времени  – время съедания Машей пол банки варенья. Значит, пока Маша ела свои пол банки варенья, Медведь съел x печений. Теперь они поменялись и Медведь ест свои полбанки варенья. Ест он варенье в три раза быстрее Маши. То есть, к примеру, если Маша ест полбанки варенья t времени, то Медведь ест те же полбанки варенья за t/3 времени. Таким образом, если Медведь за t времени съедает x печения, то после обмена – за t/3 времени Медведь съел бы x/3 печенья, но Маша съест в три раза меньше – то есть x/9 печенья. Вместе (x+x/9) составляет 100 печений, получаем уравнение:

,

Решаем уравнение, получаем:

, таким образом медведь съест 90 печений, а Маша 10.

В ответ запишем число 90.

Маша и медведь съели 160 печений и банку варенья

Задача. Маша и медведь съели 160 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь печенья, но в какой то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в три раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну.

Решение. Задачу решаем аналогично. Пусть Маша ела полбанки варенья t времени, а Миша те же полбанки варенья ел t/3 времени. Пока Маша если свои полбанки варенья, пусть Миша съел x печений. Так как Маша ест медленнее в три раза, значит, свои полбанки варенья Медведь съест за t/3 времени. Таким образом, Медведь за это время съел бы x/3 печенья, если бы соревновался сам с собой, но он соревнуется с Машей, которая ест в три раза меньше, то есть Маша съест x/9 печенья, таким образом, вместе они съедят 160 печений. Получаем уравнение:

Таким образом, Медведь съест 144 печений, а Маша только 16.

Ответ: 144

Источник: Сборник задач для подготовки к ЕГЭ по математике под редакцией Ященко.

Фактически все сводится к уравнению – сумме печений, где первое слагаемое – это предполагаемое число печений, съеденное Медведем, а второе слагаемое  – получено из первого путем делений первого на коэффициент 9 – во сколько раз Маша ест медленнее, с учетом того, что Медведь ест быстрее. Данная сумма равна количеству печений, съеденных вместе и Машей и Медведем.

Еще задача такого же плана.

Маша и Медведь съели вместе 51 печений

Маша и медведь съели 51 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь печенья, но в какой то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в четыре раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну.

Решение. Итак, пока Маша ест свои полбанки варенья, Медведь съест x печений. Теперь они поменялись и Медведь ест свои пол банки варенья в четыре раза быстрее, то есть если бы такой же Медведь сидел рядом и ел печенье, то он бы съел x/4 всего. Но если Медведь ест в 4 раза быстрее, то Маша ест в 4 раза медленнее, значит, она бы съела всего x/16 печений. Известно, что вместе они съели печений. Решим полученное уравнение:

Ответ: 48