Как решать линейные уравнения

Уравнение представляет собой математическое утверждение , что два выражения равны, например,  . Решением уравнения является любой набор значений, который может заменить переменные для создания истинного оператора. Рассмотрим какие уравнения являются линейными, как решать линейные уравнения, какие правила для решения линейных уравнений надо знать и применять.

Линейное уравнение и его решение

Линейным называется уравнение, в котором x – переменная входит в первой степени. Почему линейное уравнение называется линейным? Потому что им описывается прямая (линия). Решать такое уравнение легко и просто  – вам нужно просто разделить по разным сторонам от знака = неизвестные и известные в уравнении. А далее применить необходимые преобразования, если они нужны, или сразу же найти корень уравнения.

Простое решение

Переменная в уравнении  это и решение будет . Чтобы убедиться в этом, замените значение в уравнении и получите истинное утверждение:

Особенно полезны уравнения, связывающие две переменные. Если мы знаем значение одной из переменных, мы можем найти соответствующее значение другой переменной, решая уравнение.

Пример: Уравнение определяет заработную плату Эмили , где – количество часов, которые необходимо работать в неделю. Сколько часов нужно будет работать Эмили на следующей неделе, если она хочет заработать 3600 рублей?

Решение: Понятно, что в этом случае , подставляем это значение в уравнение и находим :

Итак, получается, что Эмили нужно проработать 60 часов.

Чтобы решить уравнение, мы можем получить более простые уравнения, которые имеют одинаковые решения.

Уравнения, имеющие одинаковые решения, называются эквивалентными уравнениями. Например,

и

имеют одинаковые решения, то есть являются эквивалентными. Это, конечно, написано математически строгим языком, но сложно для понимания школьника.

Объясню проще: пусть нам дано уравнение . Итак, отделим известные от неизвестных. Обычно, неизвестные отправляют в левую часть от знака “=”, а известные – отправляют в правую часть, при этом мы при переносе всегда меняем знак на противоположный:

Упростим:

. Это – эквивалентное линейное уравнение самому первому уравнению.

Теперь находим неизвестный множитель:

Итак, корень уравнения .

Желательно, если вы только начинаете решать линейные уравнения, сначала всегда проводите проверку – подставим полученный корень в исходное (самое первое) уравнение:

. Мы получили верное равенство, значит, уравнение решено верно.

Итак, ответ: .

Еще примеры решения линейных уравнений

1.Решите уравнение В данном уравнении x-неизвестный множитель. Вспомним правило:

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

Получаем:

Правила записи: чтобы писать математически грамотно решение линейного уравнение – каждое вычисление или преобразование надо делать с новой строки. Недопустимым считается следующее написание: . По правилам математической грамотности, на одной строчке мы пишем , и только на следующей . Будьте грамотны.

Проверка:

.

Ответ: .

2. Решите уравнение . В данном уравнении x – неизвестное слагаемое. Правило:

Для того, чтобы найти неизвестное слагаемое, надо от суммы отнять известное слагаемое.

Решение:

Делаем проверку:

.

Ответ:

3. Решите уравнение  . В данном уравнении x- неизвестное вычитаемое. Правило:

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность.

Решение: уменьшаемое у нас 3, а разность 9: .

.

Проверка:

.

Ответ:

4. Решите уравнение . В данном уравнении x- неизвестное уменьшаемое. Правило:

Для того, чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Решение:

Проверка:

.

Ответ:

5. Решите линейное уравнение . Здесь x – неизвестное делимое. Правило:

Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Решение:

Проверка:

Ответ: .

6. Решите уравнение . Здесь x-неизвестный делитель. Правило:

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

Решение:

Проверка:

.

Ответ:

Это самые простые линейные уравнения. Что же делать если у нас уравнение линейное, но сложное, уровень которого не 3-4 класс, а 7-9? Как решить его?

Универсальный метод

Универсальный метод того, как решать линейные уравнения, заключается в сведении сложного уравнения к простому, правила для которого известны. Понятнее будет на примере:

Вроде есть все – и сложение, и вычитание и деление и умножение. Какое правило применять? Непонятно. Давайте упростим это уравнение. Начнем с его левой части: , тогда в левой части будет:

Теперь приведем две дроби и к общему знаменателю:

. Запишем под одним знаменателем:

. Умножим левую и правую части уравнения на 2. По правилам мы можем умножать левую и правую части уравнения (как и делить) на одно и то же число, отличное от нуля, и это не повлияет на его ответ. Тогда, знаменатель в левой части сократится, и мы получим:

А теперь мы просто находим неизвестный множитель:

Делаем проверку:

.

Вычисляем:

Ответ: .

Метод понятен – постепенными преобразованиями мы привели исходное уравнение к простому, эквивалентному исходному. А затем, просто применили известные правила из начальной школы. Теперь вы знаете, как решать линейные уравнения простые и сложные. Это поможет вам в подготовке к ЕГЭ по математике.