Уравнение прямой, проходящей через две точки

Получить уравнение прямой по двум точкам бывает необходимо, когда мы решаем задачи, связанные с анализом различных фигур на плоскости. В этом случае бывает полезно знать уравнение прямой, проходящей через две точки. Например, составляя такое уравнение мы уже знаем – как проходит прямая, с какие углом наклона к осям координат и можем рассчитать расположение прямой по отношению к другим прямым или к фигурам.

Содержание

Составляем уравнение прямой по двум точкам

Итак, пусть нам даны две точки $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ . Наша прямая проходит через две эти точки, давайте получим уравнение этой прямой. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку с координатами $A(x_1, y_1)$ имеет вид:

$y-y_1=k(x-x_1) \eqno (1)$

То есть если прямая проходит через две точки $A$ и $B$ она – одна из этого пучка прямых, проходящих через точку $A$ и эта прямая имеет определенный коэффициент $k$ . Значит, координаты точки $B$ должны удовлетворять уравнению (1), то есть

$y_2-y_1=k(x_2-x_1) \eqno (2)$

Находим из (2) $k$ :

$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

и подставим в уравнение (1):

$y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1) \eqno (3)$

Преобразовывая уравнение (3) получим:

$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$

Это и есть уравнение прямой, проходящей через две точки $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ .

Примечание: если точки $A$ и $B$ лежат на прямой, которая параллельна оси $Ox$ $(y_2-y_1=0)$ или оси $Oy$ $x_2-x_1=0$ , то уравнение прямой будет иметь вид $y=y_1$ или $x=x_1$ соответственно.

Зная координаты любых двух точек прямой, мы всегда сможем определить угловой коэффициент прямой:

$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Геометрический вывод уравнения прямой

Действительно, давайте нарисуем прямую в системе координат $xOy$ и отметим на прямой две точки $A$ и $B$ , координаты которых известны $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ и отметим на этой прямой произвольную точку $M(x,y)$ .

Из подобия треугольников $AMD$ и $ABC$ находим:

$\frac{DM}{CB}=\frac{AD}{AC}$

Из рисунка видно, что:

$DM=y-y_1$

$CB=y_2-y_1$

$AD=x-x_1$

$AC=x_2-x_1$

Таким образом, получаем уравнение прямой по двум точкам:

$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$

Задача

Составим уравнение прямой, проходящей через две точки $A(1,2)$ и $B(3,7)$ .

Решение: Имеем $x_1=1$ , $x_2=3$ , $y_1=2$ , $y_2=7$ . Подставим эти значения в уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

$\frac{y-2}{7-2}=\frac{x-1}{3-1}$

$\frac{y-2}{5}=\frac{x-1}{2}$

Умножим левую и правую части уравнения на 5, получим:

$y-2=\frac{5x-5}{2}$

$y=2+2,5x-2,5$

$y=2,5x-0,5$ – получившееся уравнение прямой.

Давайте сделаем проверку – если мы все решили правильно, то при подстановке координат точек $A$ и $B$ мы получим верное равенство. Итак, подставим сначала координаты точки $A$ :

$y_1=2,5x_1-0,5$

$2=2,5 \cdot 1-0,5$

$2=2$

Теперь координаты точки $B$ :

$y_2=2,5x_2-0,5$

$7=2,5 \cdot 3-0,5$

$7=7$

Значит, уравнение прямой мы нашли верно.

Ответ: $y=2,5x-0,5$

Условие прохождения прямой через три заданные точки

Если нам в задаче нужно убедиться, что три точки с заданными координатами лежат на одной прямой, можно рассуждать так:

Если две точки с заданными координатами образуют прямую, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой, проходящей через две точки.
Если третья точка также лежит на этой прямой, то и ее координаты будут удовлетворять этому уравнению.

Таким образом, если нам даны три точки $A(x_1, y_1)$ , $B(x_2, y_2)$ и $C(x_3, y_3)$ , лежащие на одной прямой, то их координаты будут удовлетворять условию:

$\frac{y_3-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x_3-x_1}{x_2-x_1}$

Теперь вы легко сможете составить уравнение прямой по двум точкам, а также найти угловой коэффициент прямой и проверить – принадлежит ли третья точка этой прямой.

Уравнение прямой по двум точкам

Составляем уравнение прямой по двум точкам

Геометрический вывод уравнения прямой

Задача

Условие прохождения прямой через три заданные точки