Получить уравнение прямой по двум точкам бывает необходимо, когда мы решаем задачи, связанные с анализом различных фигур на плоскости. В этом случае бывает полезно знать уравнение прямой, проходящей через две точки. Например, составляя такое уравнение мы уже знаем – как проходит прямая, с какие углом наклона к осям координат и можем рассчитать расположение прямой по отношению к другим прямым или к фигурам.
Содержание
Составляем уравнение прямой по двум точкам
Итак, пусть нам даны две точки и
. Наша прямая проходит через две эти точки, давайте получим уравнение этой прямой. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку с координатами
имеет вид:
То есть если прямая проходит через две точки и
она – одна из этого пучка прямых, проходящих через точку
и эта прямая имеет определенный коэффициент
. Значит, координаты точки
должны удовлетворять уравнению (1), то есть
.
Находим из (2) :
и подставим в уравнение (1):
.
Преобразовывая уравнение (3) получим:
Это и есть уравнение прямой, проходящей через две точки
и
.
Примечание: если точки и
лежат на прямой, которая параллельна оси
или оси
, то уравнение прямой будет иметь вид
или
соответственно.
Зная координаты любых двух точек прямой, мы всегда сможем определить угловой коэффициент прямой:
Геометрический вывод уравнения прямой
Действительно, давайте нарисуем прямую в системе координат и отметим на прямой две точки
и
, координаты которых известны
и
и отметим на этой прямой произвольную точку
.
Из подобия треугольников и
находим:
Из рисунка видно, что:
,
Таким образом, получаем уравнение прямой по двум точкам:
Задача
Составим уравнение прямой, проходящей через две точки и
.
Решение: Имеем ,
,
,
. Подставим эти значения в уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:
Умножим левую и правую части уравнения на 5, получим:
– получившееся уравнение прямой.
Давайте сделаем проверку – если мы все решили правильно, то при подстановке координат точек и
мы получим верное равенство. Итак, подставим сначала координаты точки
:
Теперь координаты точки :
Значит, уравнение прямой мы нашли верно.
Ответ:
Условие прохождения прямой через три заданные точки
Если нам в задаче нужно убедиться, что три точки с заданными координатами лежат на одной прямой, можно рассуждать так:
- Если две точки с заданными координатами образуют прямую, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой, проходящей через две точки.
- Если третья точка также лежит на этой прямой, то и ее координаты будут удовлетворять этому уравнению.
Таким образом, если нам даны три точки ,
и
, лежащие на одной прямой, то их координаты будут удовлетворять условию:
Теперь вы легко сможете составить уравнение прямой по двум точкам, а также найти угловой коэффициент прямой и проверить – принадлежит ли третья точка этой прямой.
[url=https://proxyspace.seo-hunter.com]мобильные прокси трафик цена[/url]