Четверг, 31 марта 2022   Подписка на обновления
Четверг, 31 марта 2022   Подписка на обновления
Популярно
Уравнение прямой по двум точкам

Уравнение прямой по двум точкам


Получить уравнение прямой по двум точкам бывает необходимо, когда мы решаем задачи, связанные с анализом различных фигур на плоскости. В этом случае бывает полезно знать уравнение прямой, проходящей через две точки. Например, составляя такое уравнение мы уже знаем — как проходит прямая, с какие углом наклона к осям координат и можем рассчитать расположение прямой по отношению к другим прямым или к фигурам.

Составляем уравнение прямой по двум точкам

Итак, пусть нам даны две точки A(x_1, y_1) и B(x_2, y_2). Наша прямая проходит через две эти точки, давайте получим уравнение этой прямой. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку с координатами A(x_1, y_1) имеет вид:

    \[y-y_1=k(x-x_1) \eqno  (1)\]

То есть если прямая проходит через две точки A и B она — одна из этого пучка прямых, проходящих через точку A и эта прямая имеет определенный коэффициент k. Значит, координаты точки B должны удовлетворять уравнению (1), то есть

    \[y_2-y_1=k(x_2-x_1) \eqno  (2)\]

.

Находим из (2) k:

    \[k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]

и подставим в уравнение (1):

    \[y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1) \eqno  (3)\]

.

Преобразовывая уравнение (3) получим:

    \[\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\]

Это и есть уравнение прямой, проходящей через две точки A(x_1, y_1) и B(x_2, y_2).

Примечание: если точки A и B лежат на прямой, которая параллельна оси Ox (y_2-y_1=0) или оси Oy x_2-x_1=0, то уравнение прямой будет иметь вид y=y_1 или x=x_1 соответственно.

Зная координаты любых двух точек прямой, мы всегда сможем определить угловой коэффициент прямой:

    \[k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]

Геометрический вывод уравнения прямой

Действительно, давайте нарисуем прямую в системе координат xOy и отметим на прямой две точки A и B, координаты которых известны A(x_1, y_1) и B(x_2, y_2) и отметим на этой прямой произвольную точку M(x,y).

К выводу уравнения прямой через две дочки

Из подобия треугольников AMD и ABC находим:

    \[\frac{DM}{CB}=\frac{AD}{AC}\]

Из рисунка видно, что:

    \[DM=y-y_1\]

    \[CB=y_2-y_1\]

    \[AD=x-x_1\]

    \[AC=x_2-x_1\]

,

Таким образом, получаем уравнение прямой по двум точкам:

    \[\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\]

Задача

Составим уравнение прямой, проходящей через две точки A(1,2) и B(3,7).

Решение: Имеем x_1=1, x_2=3, y_1=2, y_2=7. Подставим эти значения в уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

    \[\frac{y-2}{7-2}=\frac{x-1}{3-1}\]

    \[\frac{y-2}{5}=\frac{x-1}{2}\]

Умножим левую и правую части уравнения на 5, получим:

y-2=\frac{5x-5}{2}

y=2+2,5x-2,5

y=2,5x-0,5 — получившееся уравнение прямой.

Давайте сделаем проверку — если мы все решили правильно, то при подстановке координат точек A и B мы получим верное равенство. Итак, подставим сначала координаты точки A:

y_1=2,5x_1-0,5

2=2,5 \cdot 1-0,5

2=2

Теперь координаты точки B:

y_2=2,5x_2-0,5

7=2,5 \cdot 3-0,5

7=7

Значит, уравнение прямой мы нашли верно.

Ответ: y=2,5x-0,5

Условие прохождения прямой через три заданные точки

Если нам в задаче нужно убедиться, что три точки с заданными координатами лежат на одной прямой, можно рассуждать так:

  1. Если две точки с заданными координатами образуют прямую, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой, проходящей через две точки.
  2. Если третья точка также лежит на этой прямой, то и ее координаты будут удовлетворять этому уравнению.

Таким образом, если нам даны три точки A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) и C(x_3, y_3), лежащие на одной прямой, то их координаты будут удовлетворять условию:

    \[\frac{y_3-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x_3-x_1}{x_2-x_1}\]

Теперь вы легко сможете составить уравнение прямой по двум точкам, а также найти угловой коэффициент прямой и проверить — принадлежит ли третья точка этой прямой.

Об авторе: Ольга Викторовна


© 2022 Темы школьной программы — математика 5-11 класс
Дизайн и поддержка: GoodwinPress.ru