Уравнение прямой по двум точкам

Уравнение прямой по двум точкам АЛГЕБРА

Получить уравнение прямой по двум точкам бывает необходимо, когда мы решаем задачи, связанные с анализом различных фигур на плоскости. В этом случае бывает полезно знать уравнение прямой, проходящей через две точки. Например, составляя такое уравнение мы уже знаем — как проходит прямая, с какие углом наклона к осям координат и можем рассчитать расположение прямой по отношению к другим прямым или к фигурам.

Составляем уравнение прямой по двум точкам

Итак, пусть нам даны две точки A(x_1, y_1) и B(x_2, y_2). Наша прямая проходит через две эти точки, давайте получим уравнение этой прямой. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку с координатами A(x_1, y_1) имеет вид:

    \[y-y_1=k(x-x_1) \eqno  (1)\]

То есть если прямая проходит через две точки A и B она — одна из этого пучка прямых, проходящих через точку A и эта прямая имеет определенный коэффициент k. Значит, координаты точки B должны удовлетворять уравнению (1), то есть

    \[y_2-y_1=k(x_2-x_1) \eqno  (2)\]

.

Находим из (2) k:

    \[k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]

и подставим в уравнение (1):

    \[y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1) \eqno  (3)\]

.

Преобразовывая уравнение (3) получим:

    \[\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\]

Это и есть уравнение прямой, проходящей через две точки A(x_1, y_1) и B(x_2, y_2).

Примечание: если точки A и B лежат на прямой, которая параллельна оси Ox (y_2-y_1=0) или оси Oy x_2-x_1=0, то уравнение прямой будет иметь вид y=y_1 или x=x_1 соответственно.

Зная координаты любых двух точек прямой, мы всегда сможем определить угловой коэффициент прямой:

    \[k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]

Геометрический вывод уравнения прямой

Действительно, давайте нарисуем прямую в системе координат xOy и отметим на прямой две точки A и B, координаты которых известны A(x_1, y_1) и B(x_2, y_2) и отметим на этой прямой произвольную точку M(x,y).

К выводу уравнения прямой через две дочки

Из подобия треугольников AMD и ABC находим:

    \[\frac{DM}{CB}=\frac{AD}{AC}\]

Из рисунка видно, что:

    \[DM=y-y_1\]

    \[CB=y_2-y_1\]

    \[AD=x-x_1\]

    \[AC=x_2-x_1\]

,

Таким образом, получаем уравнение прямой по двум точкам:

    \[\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\]

Задача

Составим уравнение прямой, проходящей через две точки A(1,2) и B(3,7).

Решение: Имеем x_1=1, x_2=3, y_1=2, y_2=7. Подставим эти значения в уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

    \[\frac{y-2}{7-2}=\frac{x-1}{3-1}\]

    \[\frac{y-2}{5}=\frac{x-1}{2}\]

Умножим левую и правую части уравнения на 5, получим:

y-2=\frac{5x-5}{2}

y=2+2,5x-2,5

y=2,5x-0,5 — получившееся уравнение прямой.

Давайте сделаем проверку — если мы все решили правильно, то при подстановке координат точек A и B мы получим верное равенство. Итак, подставим сначала координаты точки A:

y_1=2,5x_1-0,5

2=2,5 \cdot 1-0,5

2=2

Теперь координаты точки B:

y_2=2,5x_2-0,5

7=2,5 \cdot 3-0,5

7=7

Значит, уравнение прямой мы нашли верно.

Ответ: y=2,5x-0,5

Условие прохождения прямой через три заданные точки

Если нам в задаче нужно убедиться, что три точки с заданными координатами лежат на одной прямой, можно рассуждать так:

  1. Если две точки с заданными координатами образуют прямую, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой, проходящей через две точки.
  2. Если третья точка также лежит на этой прямой, то и ее координаты будут удовлетворять этому уравнению.

Таким образом, если нам даны три точки A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) и C(x_3, y_3), лежащие на одной прямой, то их координаты будут удовлетворять условию:

    \[\frac{y_3-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x_3-x_1}{x_2-x_1}\]

Теперь вы легко сможете составить уравнение прямой по двум точкам, а также найти угловой коэффициент прямой и проверить — принадлежит ли третья точка этой прямой.

Оцените статью
( 3 оценки, среднее 5 из 5 )
Репетитор по математике
Подписаться
Уведомить о
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии