Пятница, 17 сентября 2021   Подписка на обновления
Пятница, 17 сентября 2021   Подписка на обновления
Популярно
Биссектриса трапеции — свойства биссектрис углов трапеции

Биссектриса трапеции — свойства биссектрис углов трапеции


Биссектрисы трапеции обладают рядом интересных свойств, которые часто используются в задачах экзамена по математике. Давайте рассмотрим все замечательные свойства биссектрис трапеции здесь. Сначала дадим определение биссектрисы трапеции.

Биссектриса трапеции

Биссектриса трапеции — это биссектриса угла трапеции, то есть это луч, исходящий из вершины трапеции и делящий угол трапеции пополам. Рассмотрим теперь разные варианты пересечения биссектрис в трапеции и узнаем какими свойствами обладают биссектрисы в трапеции.

Биссектриса трапеции

Свойства пересечения биссектрис в трапеции

1 Свойство — биссектрисы углов при боковой стороне пересекаются под прямым углом.

Давайте докажем это свойство. Рассмотрим трапецию ABCD. Проведем в этой трапеции биссектрисы углов A и B. Получим биссектрисы AK и BK. Докажем, что угол K  — прямой.

Биссектрисы в трапеции пересекаются под прямым углом

Сумма углов при боковой стороне трапеции равна 1800. То есть \angle B+\angle A=180^{\circ}.

Так как BK и AK биссектрисы углов B и A соответственно, то они делят эти углы пополам. А это значит, что \angle B+\angle A=180^{\circ} или 2 \angle{ABK}+2\angle{BAK}=180^{\circ}.

Делим левую и правую части этого равенства на 2, получим: \angle{ABK}+\angle{BAK}=90^{\circ}. Что и требовалось доказать.

2 Свойство биссектрис трапеции — точка пересечения биссектрис углов трапеции при одной боковой стороне лежит на средней линии трапеции.

Доказательство. Нарисуем трапецию ABCD и биссектрисы BK и AK. Докажем, что точка K пересечения биссектрис трапеции лежит на средней линии MN трапеции.

Трапеция и пересечение биссектрис на средней линии трапеции

Продолжим биссектрису BK до пересечения со стороной AD трапеции ABCD. Точку пересечения биссектрисы и основания трапеции обозначим F.

Рассмотрим треугольник ABF. Этот треугольник равнобедренный. Так как \angle {ABC}=\angle {BFC}, поскольку \angle {ABC}=\angle {KBC}, поскольку BK — биссектриса, а \angle {KBC}=\angle {BFC} как накрест лежащие углы при параллельных BC и AD и секущей BF.

В равнобедренном треугольнике ABF биссектриса AK также является медианой, то есть делит основание BF пополам, а значит, точка K лежит на средней линии трапеции MN согласно теореме Фалеса: если прямая отсекает равные отрезки на одной стороне угла, то она отсекает равные отрезки и на другой стороне угла. Таким образом если BK=KF, то и BM=MA и MN — средняя линия трапеции. Вот мы и доказали второе свойство биссектрис в трапеции.

Из доказательства второго свойства вытекает важное свойство биссектрисы трапеции:

Биссектриса тупого угла трапеции отсекает от нее равнобедренный треугольник.

Эти свойства биссектрис трапеции важно знать, поскольку они помогают в решении задач на трапецию в ОГЭ и в ЕГЭ.

Об авторе: Ольга Викторовна


© 2021 Темы школьной программы — математика 5-11 класс
Дизайн и поддержка: GoodwinPress.ru