Биссектрисы трапеции свойства пересечения биссектрис углов трапеции

Биссектрисы трапеции обладают рядом интересных свойств, которые часто используются в задачах экзамена по математике. Давайте рассмотрим все замечательные свойства биссектрис трапеции здесь. Сначала дадим определение биссектрисы трапеции.

Биссектриса трапеции

Биссектриса трапеции – это биссектриса угла трапеции, то есть это луч, исходящий из вершины трапеции и делящий угол трапеции пополам. Рассмотрим теперь разные варианты пересечения биссектрис в трапеции и узнаем какими свойствами обладают биссектрисы в трапеции.

Свойства пересечения биссектрис в трапеции

1 Свойство – биссектрисы углов при боковой стороне пересекаются под прямым углом.

Давайте докажем это свойство. Рассмотрим трапецию $ABCD$ . Проведем в этой трапеции биссектрисы углов $A$ и $B$ . Получим биссектрисы $AK$ и $BK$ . Докажем, что угол K – прямой.

Сумма углов при боковой стороне трапеции равна 1800. То есть $\angle B+\angle A=180^{\circ}$ .

Так как $BK$ и $AK$ биссектрисы углов $B$ и $A$ соответственно, то они делят эти углы пополам. А это значит, что $\angle B+\angle A=180^{\circ}$ или $2 \angle{ABK}+2\angle{BAK}=180^{\circ}$ .

Делим левую и правую части этого равенства на 2, получим: $\angle{ABK}+\angle{BAK}=90^{\circ}$ . Что и требовалось доказать.

2 Свойство биссектрис трапеции – точка пересечения биссектрис углов трапеции при одной боковой стороне лежит на средней линии трапеции.

Доказательство. Нарисуем трапецию $ABCD$ и биссектрисы $BK$ и $AK$ . Докажем, что точка $K$ пересечения биссектрис трапеции лежит на средней линии MN трапеции.

Продолжим биссектрису $BK$ до пересечения со стороной $AD$ трапеции $ABCD$ . Точку пересечения биссектрисы и основания трапеции обозначим $F$ .

Рассмотрим треугольник $ABF$ . Этот треугольник равнобедренный. Так как $\angle {ABC}=\angle {BFC}$ , поскольку $\angle {ABC}=\angle {KBC}$ , поскольку $BK$ – биссектриса, а $\angle {KBC}=\angle {BFC}$ как накрест лежащие углы при параллельных $BC$ и $AD$ и секущей $BF$ .

В равнобедренном треугольнике $ABF$ биссектриса $AK$ также является медианой, то есть делит основание $BF$ пополам, а значит, точка $K$ лежит на средней линии трапеции MN согласно теореме Фалеса: если прямая отсекает равные отрезки на одной стороне угла, то она отсекает равные отрезки и на другой стороне угла. Таким образом если $BK=KF$ , то и $BM=MA$ и MN – средняя линия трапеции. Вот мы и доказали второе свойство биссектрис в трапеции.

Из доказательства второго свойства вытекает важное свойство биссектрисы трапеции:

Биссектриса тупого угла трапеции отсекает от нее равнобедренный треугольник.

Эти свойства биссектрис трапеции важно знать, поскольку они помогают в решении задач на трапецию в ОГЭ и в ЕГЭ.

Биссектриса трапеции – свойства биссектрис углов трапеции

Биссектриса трапеции

Свойства пересечения биссектрис в трапеции