Биссектриса трапеции – свойства биссектрис углов трапеции

Биссектрисы трапеции обладают рядом интересных свойств, которые часто используются в задачах экзамена по математике. Давайте рассмотрим все замечательные свойства биссектрис трапеции здесь. Сначала дадим определение биссектрисы трапеции.

Биссектриса трапеции

Биссектриса трапеции – это биссектриса угла трапеции, то есть это луч, исходящий из вершины трапеции и делящий угол трапеции пополам. Рассмотрим теперь разные варианты пересечения биссектрис в трапеции и узнаем какими свойствами обладают биссектрисы в трапеции.

Свойства пересечения биссектрис в трапеции

1 Свойство – биссектрисы углов при боковой стороне пересекаются под прямым углом.

Давайте докажем это свойство. Рассмотрим трапецию . Проведем в этой трапеции биссектрисы углов и . Получим биссектрисы и . Докажем, что угол K  – прямой.

Сумма углов при боковой стороне трапеции равна 1800. То есть .

Так как и биссектрисы углов и соответственно, то они делят эти углы пополам. А это значит, что или .

Делим левую и правую части этого равенства на 2, получим: . Что и требовалось доказать.

2 Свойство биссектрис трапеции – точка пересечения биссектрис углов трапеции при одной боковой стороне лежит на средней линии трапеции.

Доказательство. Нарисуем трапецию и биссектрисы и . Докажем, что точка пересечения биссектрис трапеции лежит на средней линии MN трапеции.

Продолжим биссектрису до пересечения со стороной трапеции . Точку пересечения биссектрисы и основания трапеции обозначим .

Рассмотрим треугольник . Этот треугольник равнобедренный. Так как , поскольку , поскольку – биссектриса, а как накрест лежащие углы при параллельных и и секущей .

В равнобедренном треугольнике биссектриса также является медианой, то есть делит основание пополам, а значит, точка лежит на средней линии трапеции MN согласно теореме Фалеса: если прямая отсекает равные отрезки на одной стороне угла, то она отсекает равные отрезки и на другой стороне угла. Таким образом если , то и и MN – средняя линия трапеции. Вот мы и доказали второе свойство биссектрис в трапеции.

Из доказательства второго свойства вытекает важное свойство биссектрисы трапеции:

Биссектриса тупого угла трапеции отсекает от нее равнобедренный треугольник.

Эти свойства биссектрис трапеции важно знать, поскольку они помогают в решении задач на трапецию в ОГЭ и в ЕГЭ.