...

Биссектриса трапеции – свойства биссектрис углов трапеции

Биссектрисы трапеции Геометрия

Биссектрисы трапеции обладают рядом интересных свойств, которые часто используются в задачах экзамена по математике. Давайте рассмотрим все замечательные свойства биссектрис трапеции здесь. Сначала дадим определение биссектрисы трапеции.

Биссектриса трапеции

Биссектриса трапеции – это биссектриса угла трапеции, то есть это луч, исходящий из вершины трапеции и делящий угол трапеции пополам. Рассмотрим теперь разные варианты пересечения биссектрис в трапеции и узнаем какими свойствами обладают биссектрисы в трапеции.

Биссектриса трапеции

Свойства пересечения биссектрис в трапеции

1 Свойство – биссектрисы углов при боковой стороне пересекаются под прямым углом.

Давайте докажем это свойство. Рассмотрим трапецию ABCD. Проведем в этой трапеции биссектрисы углов A и B. Получим биссектрисы AK и BK. Докажем, что угол K  – прямой.

Биссектрисы в трапеции пересекаются под прямым углом

Сумма углов при боковой стороне трапеции равна 1800. То есть \angle B+\angle A=180^{\circ}.

Так как BK и AK биссектрисы углов B и A соответственно, то они делят эти углы пополам. А это значит, что \angle B+\angle A=180^{\circ} или 2 \angle{ABK}+2\angle{BAK}=180^{\circ}.

Делим левую и правую части этого равенства на 2, получим: \angle{ABK}+\angle{BAK}=90^{\circ}. Что и требовалось доказать.

2 Свойство биссектрис трапеции – точка пересечения биссектрис углов трапеции при одной боковой стороне лежит на средней линии трапеции.

Доказательство. Нарисуем трапецию ABCD и биссектрисы BK и AK. Докажем, что точка K пересечения биссектрис трапеции лежит на средней линии MN трапеции.

Трапеция и пересечение биссектрис на средней линии трапеции

Продолжим биссектрису BK до пересечения со стороной AD трапеции ABCD. Точку пересечения биссектрисы и основания трапеции обозначим F.

Рассмотрим треугольник ABF. Этот треугольник равнобедренный. Так как \angle {ABC}=\angle {BFC}, поскольку \angle {ABC}=\angle {KBC}, поскольку BK – биссектриса, а \angle {KBC}=\angle {BFC} как накрест лежащие углы при параллельных BC и AD и секущей BF.

В равнобедренном треугольнике ABF биссектриса AK также является медианой, то есть делит основание BF пополам, а значит, точка K лежит на средней линии трапеции MN согласно теореме Фалеса: если прямая отсекает равные отрезки на одной стороне угла, то она отсекает равные отрезки и на другой стороне угла. Таким образом если BK=KF, то и BM=MA и MN – средняя линия трапеции. Вот мы и доказали второе свойство биссектрис в трапеции.

Из доказательства второго свойства вытекает важное свойство биссектрисы трапеции:

Биссектриса тупого угла трапеции отсекает от нее равнобедренный треугольник.

Эти свойства биссектрис трапеции важно знать, поскольку они помогают в решении задач на трапецию в ОГЭ и в ЕГЭ.

Оцените статью
( 17 оценок, среднее 3.94 из 5 )
Поделиться с друзьями
Темы школьной программы - математика 5-11 класс
Добавить комментарий

  1. Eleanore

    Greetings! If you need data harvesting services, I’d gladly help you out.

    As a skilled professional in this domain, I possess the expertise and
    necessary tools to provide fast and accurate data extraction. This can aid
    you in making well-informed decisions and
    growing your business. Feel free to reach out for assistance with web scraping..
    Unobtrusive Web Crawlers

    Ответить
  2. Моник

    Ищете способ роста посещаемости, чтобы сайт занял ТОП-10 Яндекса? Гарантированно быстрее чем у сео-студий? Мы докажем, что это реально. Гарантируем результат благодаря опыту с 2019 года и более 400 успешных кейсов на канале t.me/top1boost Ваше доверие — наша ответственность, поэтому мы работаем по договору для надежности сотрудничества. Вы платите за реальный результат, которым является рост позиций. Никакого подвоха, если вдруг сайт не вырос — никакой оплаты нам. Хотите узнать больше? Пришлите сообщение — Telegram: t.me/top1booster или WhatsApp: wa.clck.bar/79802050964 Доверьте раскрутку своего сайта профессионалам и достигните ТОП 10 Яндекса!Мы уверены в результате, именно поэтому делаем бесплатный тест.

    Ответить
  3. tlover tonet

    Have you ever considered about including a little bit more than just your articles? I mean, what you say is fundamental and all. However just imagine if you added some great graphics or video clips to give your posts more, “pop”! Your content is excellent but with pics and video clips, this site could definitely be one of the greatest in its field. Fantastic blog!

    Ответить
  4. tlover tonet

    Very interesting subject, appreciate it for putting up.

    Ответить