Суббота, 4 декабря 2021   Подписка на обновления
Суббота, 4 декабря 2021   Подписка на обновления
Популярно
Площадь круга

Площадь круга


Площадь круга — это размер области внутри окружности, определенный в квадратных единицах измерения. Определять площадь круга можно по формулам, которые давно известны и использовались еще в Древнем мире для определения необходимого количества строительных материалов при построения зданий, амфитеатра и других архитектурных сооружений. В современном мире, с его быстрыми изменениями в архитектуре и в строительстве — определять площадь круга не менее важно. И в задачах алгебры и геометрии это умение пригодится.

Формулы площади круга

Площадь круга через радиус

В геометрии используются следующая формула для определения площади круга через радиус круга:

    \[\boxed {S=\pi \cdot r^2} \eqno  (1)\]

Здесь S — площадь круга, r — радиус круга.

Площадь круга через радиус

В формуле фигурирует \pi — это постоянная величина, которая называется «число \pi» — это постоянная величина, которая часто используется в геометрии и в тригонометрии и означает отношение длины окружности к ее диаметру. Значение этого отношение получается постоянным, но не точным, и до сегодняшнего дня ученые стараются уточнить это значение. Приближенно «число \pi» равно 3,14. Хотя после цифры «4» еще бесконечное количество цифр:

\pi=3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820\\  97494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664\\  709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462\\  29489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091....

Площадь круга измеряется в квадратных единицах длины: см2, м2, дм2, мм2, кв.ед. Однако, в физике площадь круга будет рассчитываться в СИ: м2. Иногда в задачах сразу указывается — в каких единицах следует рассчитать площадь круга.

Площадь круга через диаметр

Давайте получим формулу площади круга через диаметр.

Так как диаметр — это два радиуса, то, следовательно, радиус — это половина диаметра:

    \[r=\frac{d}{2}\]

d— диаметр круга.

Площадь круга через диаметр

Подставим это выражение для радиуса в формулу площади круга, получим:

    \[S=\pi \cdot \frac{d^2}{2^2}= \frac{\pi d^2}{4}\]

Таким образом, нами получена формула площади круга через диаметр круга:

    \[\boxed {S= \frac{\pi d^2}{4}}  \eqno (2)\]

Площадь круга через длину окружности

Окружность — это граница круга. Зная длину этой границы мы можем рассчитать площадь круга. Итак, формула длины окружности: l=2 \pi r, тогда определим радиус и подставим его в формулу (1):

r=\frac{l}{2 \pi},

И формула площади круга через длину окружности:

    \[\boxed {S=\frac{l^2}{4 \pi}} \eqno   (3)\]

Примеры решения задач

Задача 1

Найдите площадь круга, если известен его радиус r=5см.

Решение: Для определения площади круга используем формулу (1):

S= \pi r^2=\pi 5^2=25 \pi см2. Сейчас мы имеем точное значение площади круга. Но если мы возьмем вместо \pi число 3,14, то получим приближенное значение площади круга:

S\approx 25 \cdot 3,14 \approx 78,5 см2.

Ответ: 78,5 см2.

Задача 2

Найдите площадь земельного участка, если известно, что форма участка — круг, а диаметр участка составляет 50 м.

Решение: Чтобы найти площадь земельного участка, мы должны рассчитать площадь круга с диаметром 50 м. Используем формулу (2):

S=\pi \frac{d^2}{4}=\pi \frac{50^2}{4}=62,5 \pi \approx 62,5 \cdot 3,14 \approx 196,25 м2.

Ответ: \approx196,25 м2.

Задача 3

Длина границы земельного участка круглой формы равна 64 м. Найдите площадь участка.

Решение: граница участка круглой формы — это окружность. Тогда длина этой границы — это длина окружности. Площадь участка — площадь круга, которую мы определим по формуле (3) через длину окружности:

S=\frac{l^2}{4 \pi}=\frac{64^2}{4 \pi}=\frac{1024}{\pi} \approx \frac{1024}{3,14} \approx 326,11 м2.

Ответ: \approx 326,11 м2.

Для того, чтобы определять площадь круга в задачах по геометрии вам нужно определить с тем, какие данные вам известны и использовать те формулы для определения площади круга, которые больше всего подходят.

Об авторе: Ольга Викторовна


© 2021 Темы школьной программы — математика 5-11 класс
Дизайн и поддержка: GoodwinPress.ru