Площадь круга все формулы и примеры расчета

Площадь круга – это размер области внутри окружности, определенный в квадратных единицах измерения. Определять площадь круга можно по формулам, которые давно известны и использовались еще в Древнем мире для определения необходимого количества строительных материалов при построения зданий, амфитеатра и других архитектурных сооружений. В современном мире, с его быстрыми изменениями в архитектуре и в строительстве – определять площадь круга не менее важно. И в задачах алгебры и геометрии это умение пригодится.

Содержание

Формулы площади круга

Площадь круга через радиус

В геометрии используются следующая формула для определения площади круга через радиус круга:

$\boxed {S=\pi \cdot r^2} \eqno (1)$

Здесь $S$ – площадь круга, $r$ – радиус круга.

В формуле фигурирует $\pi$ – это постоянная величина, которая называется “число $\pi$ ” – это постоянная величина, которая часто используется в геометрии и в тригонометрии и означает отношение длины окружности к ее диаметру. Значение этого отношение получается постоянным, но не точным, и до сегодняшнего дня ученые стараются уточнить это значение. Приближенно “число $\pi$ ” равно 3,14. Хотя после цифры “4” еще бесконечное количество цифр:

$\pi=3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820\\ 97494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664\\ 709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462\\ 29489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091....$

Площадь круга измеряется в квадратных единицах длины: см², м², дм², мм², кв.ед. Однако, в физике площадь круга будет рассчитываться в СИ: м². Иногда в задачах сразу указывается – в каких единицах следует рассчитать площадь круга.

Площадь круга через диаметр

Давайте получим формулу площади круга через диаметр.

Так как диаметр – это два радиуса, то, следовательно, радиус – это половина диаметра:

$r=\frac{d}{2}$

$d$ – диаметр круга.

Подставим это выражение для радиуса в формулу площади круга, получим:

$S=\pi \cdot \frac{d^2}{2^2}= \frac{\pi d^2}{4}$

Таким образом, нами получена формула площади круга через диаметр круга:

$\boxed {S= \frac{\pi d^2}{4}} \eqno (2)$

Площадь круга через длину окружности

Окружность – это граница круга. Зная длину этой границы мы можем рассчитать площадь круга. Итак, формула длины окружности: $l=2 \pi r$ , тогда определим радиус и подставим его в формулу (1):

$r=\frac{l}{2 \pi}$ ,

И формула площади круга через длину окружности:

$\boxed {S=\frac{l^2}{4 \pi}} \eqno (3)$

Примеры решения задач

Задача 1

Найдите площадь круга, если известен его радиус $r=5$ см.

Решение: Для определения площади круга используем формулу (1):

$S= \pi r^2=\pi 5^2=25 \pi$ см². Сейчас мы имеем точное значение площади круга. Но если мы возьмем вместо $\pi$ число 3,14, то получим приближенное значение площади круга:

$S\approx 25 \cdot 3,14 \approx 78,5$ см².

Ответ: 78,5 см².

Задача 2

Найдите площадь земельного участка, если известно, что форма участка – круг, а диаметр участка составляет 50 м.

Решение: Чтобы найти площадь земельного участка, мы должны рассчитать площадь круга с диаметром 50 м. Используем формулу (2):

$S=\pi \frac{d^2}{4}=\pi \frac{50^2}{4}=62,5 \pi \approx 62,5 \cdot 3,14 \approx 196,25$ м².

Ответ: $\approx196,25$ м².

Задача 3

Длина границы земельного участка круглой формы равна 64 м. Найдите площадь участка.

Решение: граница участка круглой формы – это окружность. Тогда длина этой границы – это длина окружности. Площадь участка – площадь круга, которую мы определим по формуле (3) через длину окружности:

$S=\frac{l^2}{4 \pi}=\frac{64^2}{4 \pi}=\frac{1024}{\pi} \approx \frac{1024}{3,14} \approx 326,11$ м².

Ответ: $\approx 326,11$ м².

Для того, чтобы определять площадь круга в задачах по геометрии вам нужно определить с тем, какие данные вам известны и использовать те формулы для определения площади круга, которые больше всего подходят.