Площадь основания пирамиды - формулы и примеры решения задач

Основание правильной пирамиды является правильный многоугольник — равносторонний треугольник, квадрат. Основанием пирамиды называют ту фигуру, над которой расположена вершина пирамиды.То есть это та грань пирамиды, которая не включает в себя ее вершину. Площадь основания пирамиды — это площадь этой плоской фигуры.

Содержание

Площадь основания правильной пирамиды

Правильная пирамида может быть трех видов:

треугольная,
четырехугольная,
шестиугольная.

Соответственно у правильной треугольной пирамида основание — равносторонний треугольник. У правильной четырехугольной пирамиды основание — квадрат. В основании шестиугольной правильной пирамиды в основании лежит шестиугольник. Приведем формулы для нахождения площади основания пирамиды:

Площадь основания правильной треугольной пирамиды

В основании равносторонний треугольник — находим его площадь:

$\displaystyle S=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$ , где $a$ — сторона треугольника.

Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат, площадь квадрата:

$\displaystyle S=a^2$ , где $a$ — сторона квадрата.

Площадь основания правильной шестиугольной пирамиды

Это площадь правильного шестиугольника. Если известна сторона шестиугольника, то площадь правильного шестиугольника находится по формуле:

$\displaystyle S=\frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$

Площадь основания любой пирамиды

Площадь основания любой пирамиды — это площадь ее основания.

Если в основании пирамиды треугольник, то формулы для нахождения площади любого треугольника вы можете посмотреть в статье «Площадь треугольника».

В основании пирамиды может лежать любой прямоугольник, любой многоугольник. Обычно в школьных задачах, в основании пирамиды часто лежит треугольник, редко прямоугольник. Задачи, в которых в основании пирамиды лежит пятиугольник, семиугольник или произвольных многоугольник, практически не встречаются. Хотя их можно увидеть в олимпиадных задачах.

Теперь давайте решим несколько задач для нахождения площади основания пирамиды

Примеры решения задач

Задача 1

Дана правильная треугольная пирамида. Сторона основания пирамиды равна 2. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение: пирамида правильная и треугольная, значит, в основании равносторонний треугольник. Тогда площадь основания пирамиды находится по формуле: $S=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$ . Нам дана сторона $a=2$ , тогда $S=\frac{2^2 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

Задача 2

Строитель решил построить здание в форме правильной шестиугольной пирамиды, для основания пирамиды у него есть доски, каждая площадью 0,5 $\sqrt{3}$ м². Сколько досок ему понадобится, если сторона основания пирамиды равна 6 м?

Решение:

Рассчитаем площадь основания правильной шестиугольной пирамиды. Для этого воспользуемся формулой: $S=\frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$ . Подставим в нее значение стороны $a=6$ . Получим: $S=\frac{3 \cdot 6^2 \sqrt{3}}{2}=54 \sqrt{3}$ м².

Теперь подсчитаем, сколько нам понадобится досок: $N=\frac{54 \sqrt{3}}{0,5 \sqrt{3}}=108$ .

Ответ: 108 досок.

Задача 3

Основанием пирамиды является прямоугольный равнобедренный треугольник, с катетом, равным 4. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение: иными словами — нас просят определить площадь прямоугольного равнобедренного треугольника. Так как треугольник прямоугольный и равнобедренный, то один из катетов будет основанием треугольника, а другой — высотой. Определяем площадь по формуле:

$S=\frac{a^2}{2}=\frac{4^2}{2}=8$ .

Ответ: 8