Теорема косинусов

Теорема косинусов отлично помогает в решении треугольников. Решение треугольника — это нахождение всех его сторон и углов. Но если нам даны только стороны треугольника, как определить углы в нем? Вот тогда и приходит на помощь теорема косинусов. Это общий случай теоремы Пифагора, подходящий для треугольника с любым углом, не только с углом 90⁰.

Содержание

Теорема и доказательство

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Произвольный треугольник

Теорема косинусов и обозначения

$c^2=a^2+b^2-2ab \cos{C}$

где $a$ , $b$ , $c$ — стороны треугольника,

$C$ — угол треугольника, напротив стороны $c$ .

Доказательство теоремы косинусов

Докажем теорему. Для этого нарисуем треугольник ABC и докажем, что:

$BC^2=AB^2+AC^2-2AB \cdot AC \cdot \cos A \eqno (1)$

Если рассматривать стороны треугольника, как векторы, то будет справедливо равенство:

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ .

В теореме $BC$ в квадрате, значит возведем векторное равенство в квадрат, получим:

$\overrightarrow{BC}^2=\overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{AC}^2-2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} \eqno (2)$

Так как, $\overrightarrow{BC}^2={BC}^2$ , $\overrightarrow{AC}={AC}^2$ , а скалярное произведение векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними, то есть $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}={AB}\cdot {AC} \cdot \cos A$ .

Подставим все в формулу (2):

$BC^2=AB^2+AC^2-2AB \cdot AC \cdot \cos A$ .

Что и требовалось доказать.

Следствие теоремы косинусов

Проведем высоты $CD$ :

Обратим внимание, что $AC \cdot \cos A = AD$ . То есть $AD$ — это проекция стороны $AC$ на сторону $AB$ треугольника $ABC$ . Если угол А острый, то $AC \cdot \cos A >0$ , если угол А тупой, то косинус угла А будет отрицательным и $AC \cdot \cos A <0$ . То есть из теоремы косинусов вытекает важное следствие:

квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон « $\pm$ » удвоенное произведение одной из них на проекцию другой на эту сторону. Знак $+$ надо брать, если угол тупой, а знак $-$ , если угол острый.

Задачи на теорему косинусов

Задача 1

Найдите $BC$ , если дано: $\angle B = 60^{\circ}$ , $AB=8$ , $AC=4\sqrt 7$ .

Решение: Так как нам известен угол между сторонами $AB$ и $BC$ и известна сторона $AC$ — мы сможем найти сторону $ВС$ , если воспользуемся теоремой косинусов.

Из теоремы косинусов $AC^2={AB}^2+{BC}^2-2AB \cdot {BC} \cos {\angle B}$ выразим сторону $BC$ .

Получим:

${BC}^2-2AB \cdot {BC} \cos {\angle B}-AC^2+{AB}^2 = 0$

Обозначим ${BC}=x$

Тогда

$x^2-2AB \cdot \cos {\angle B} \cdot x-AC^2+{AB}^2=0$

Получаем квадратное уравнение. Подставим в него значения и решим:

$x^2-2 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} x-{(4 \sqrt 7)}^2+8^2=0$

$x^2-8x-112+64=0$

$x^2-8x-48=0$

Находим дискриминант:

$D=b^2-4ac=64-4\cdot(-48)=64+192=256$ .

Тогда $x_1=\frac{8+16}{2}=\frac{24}{2}=12$ .

$x_2=\frac{8-16}{2}=\frac{-8}{2}=-4$ — не может быть длиной стороны треугольника.

Ответ: 12.

Задача 2

В треугольника ABC $AC=BC$ , $\angle C=120^{\circ}$ , $AB=6\sqrt{3}$ . Найдите $AC$

Решение: Нарисуем треугольник ABC. Это равнобедренный треугольник.

Запишем теорему косинусов для сторону $AB$ так как нам дан угол между двумя другими сторонами:

$AB^2={AC}^2+{BC}^2-2AC \cdot {BC} \cos {\angle 120^{\circ}} \eqno (1)$

Так как $AC=BC$ , то из формулы (1), получим:

$AB^2=2{AC}^2-2{AC}^2 \cdot \cos {\angle 120^{\circ}}$

Сделаем замену: $AC=x$ :

$AB^2=2{x}^2-2{x}^2 \cdot \cos {\angle 120^{\circ}}$ ,

перенесем ${AB}^2$ в правую часть равенства и получим квадратное уравнение:

$2{x}^2-2{x}^2 \cdot \cos {\angle 120^{\circ}}-{AB}^2=0$ ,

Подставим значения:

$2{x}^2-2{x}^2 \cdot \cos {\angle 120^{\circ}}-{(6\sqrt{3})}^2=0$

$\cos {\angle 120^{\circ}}=-\frac{1}{2}$

$2{x}^2+{x}^2-108=0$

$3{x}^2=108$

${x}^2=36$

$x=\sqrt{36}$

$x=6$

Так как $x=AC$ , значит, $AC=6$ .

Ответ: 6

Задача 3

Решите треугольник ABC, если известно, что $\angle A=30^{\circ}$ , $AB=4$ , $\angle C=45^{\circ}$ .

Решение: Решить треугольник — это значит, найти все его стороны и все углы. Нам два угла даны, значит, зная, что сумма всех углов в треугольнике равна $180^{\circ}$ получим:

$\angle B = 180^{\circ}-30^{\circ}-45^{\circ}=105^{\circ}$ .

Обозначим неизвестные стороны треугольника: $AC=x$ , $BC=y$ .

Выразим сторону треугольник $AB$ по теореме косинусов:

$AB^2={x}^2+y^2-2{xy} \cdot \cos {45^{\circ}}\eqno (1)$

Выразим сторону треугольника $BC=y$ по теореме косинусов:

$y^2={x}^2+{AB}^2-2{x}\cdot{AB} \cdot \cos {30^{\circ}}$

или

$y^2={x}^2+16-8{x}\cdot \cos {30^{\circ}} \eqno (2)$

Решим уравнения (1) и (2) совместно, записав их в систему уравнений:

$\left\{ \begin{aligned} AB^2={x}^2+y^2-2{xy} \cdot \cos {45^{\circ}}\\ y^2={x}^2+16-8{x}\cdot \cos {30^{\circ}}.\\ \end{aligned} \right.$

$\left\{ \begin{aligned} 16={x}^2+y^2-{xy} \cdot \sqrt{2}\\ y^2={x}^2+16-4{x}\cdot \sqrt{3}.\\ \end{aligned} \right.$

Преобразуем второе уравнение системы:

$\left\{ \begin{aligned} 16={x}^2+y^2-{xy} \cdot \sqrt{2}\\ -16={x}^2-y^2-4{x}\cdot \sqrt{3}.\\ \end{aligned} \right.$

Сложим первое и второе уравнения системы и запишем получившееся уравнение вместо второго уравнения, получим:

$\left\{ \begin{aligned} 16={x}^2+y^2-{xy} \cdot \sqrt{2}\\ 0=2{x}^2-xy \sqrt{2}-4{x}\cdot \sqrt{3}.\\ \end{aligned} \right.$

Из второго уравнения выразим $y$ :

$xy \sqrt{2}=2x^2-4x \sqrt{3}$

$y=\frac{2x^2-4x \sqrt{3}}{x \sqrt{2}}$

$y=\frac{2x-4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Итак, мы выразили $y$ из второго уравнения системы, теперь возьмем и подставим его в первое уравнение и сделаем необходимые преобразования.

$16=x^2+(\frac{2x-4\sqrt{3}}{\sqrt{2}})^2-x \sqrt{2}(\frac{2x-4\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$ , раскрываем скобки и умножим левую и правую части уравнения на 2:

$32=2x^2+4x^2-16x \sqrt{3}+16 \cdot 3-2x(2x-4 \sqrt{3})$

$2x^2-8x \sqrt{3}+48-32=0$

$2x^2-8x \sqrt{3}+16=0$

Разделим левую и правую части уравнения на 2:

$x^2-4x \sqrt{3}+8=0$ .

Получили квадратное уравнение. Решим его.

Находим дискриминант:

$D=b^2-4ac=(4 \sqrt{3})^2-4 \cdot 8 \cdot 1=16 \cdot 3 - 32=48-32=16$

Тогда корни уравнения:

$x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{4 \sqrt{3}-4}{2}=2 \sqrt{3}-2$

$x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{4 \sqrt{3}+4}{2}=2 \sqrt{3}+2$ .

Оба значения подходят — они положительны. Находим, $y$ :

$y_1= \frac{2(2 \sqrt{3}-2)-4 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{-4}{\sqrt{2}}$ — отрицательное значение нам не подходит.

$y_2= \frac{2(2 \sqrt{3}+2)-4 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2 \sqrt{2}$ .

Таким образом, получаем следующие значения $x=2 \sqrt{3}+2$ , $y=2 \sqrt{2}$ .

Вы можете самостоятельно сделать проверку и убедиться в том, что данные значения верны.

Ответ: $AC=2 \sqrt{3}+2$ , $BC=2 \sqrt{2}$ .

Теорема косинусов для треугольника очень помогает в решении геометрических задач, однако некоторые задачи усложняются, если не знать еще одну теорему — синусов. Например, третью задачу мы могли решить гораздо проще — используя теорему синусов, с помощью которой мы бы довольно быстро получили тот же результат для $y$ . Однако, с ней мы бы получили лишь приближенное значение $x$ . Теорема косинусов дает нам точный результат. Однако, в дальнейшем, когда вы выучите две теоремы — рекомендуем решать задачи, используя их обе.