Теорема косинусов отлично помогает в решении треугольников. Решение треугольника – это нахождение всех его сторон и углов. Но если нам даны только стороны треугольника, как определить углы в нем? Вот тогда и приходит на помощь теорема косинусов. Это общий случай теоремы Пифагора, подходящий для треугольника с любым углом, не только с углом 900.
Содержание
Теорема и доказательство
Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Произвольный треугольник | Теорема косинусов и обозначения |
где
|
Доказательство теоремы косинусов
Докажем теорему. Для этого нарисуем треугольник ABC и докажем, что:
Если рассматривать стороны треугольника, как векторы, то будет справедливо равенство:
.
В теореме в квадрате, значит возведем векторное равенство в квадрат, получим:
Так как, ,
, а скалярное произведение векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними, то есть
.
Подставим все в формулу (2):
.
Что и требовалось доказать.
Следствие теоремы косинусов
Проведем высоты :
Обратим внимание, что . То есть
– это проекция стороны
на сторону
треугольника
. Если угол А острый, то
, если угол А тупой, то косинус угла А будет отрицательным и
. То есть из теоремы косинусов вытекает важное следствие:
квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон “
” удвоенное произведение одной из них на проекцию другой на эту сторону. Знак
надо брать, если угол тупой, а знак
, если угол острый.
Задачи на теорему косинусов
Задача 1
Найдите , если дано:
,
,
.
Решение: Так как нам известен угол между сторонами и
и известна сторона
– мы сможем найти сторону
, если воспользуемся теоремой косинусов.
Из теоремы косинусов выразим сторону
.
Получим:
Обозначим
Тогда
Получаем квадратное уравнение. Подставим в него значения и решим:
Находим дискриминант:
.
Тогда .
– не может быть длиной стороны треугольника.
Ответ: 12.
Задача 2
В треугольника ABC ,
,
. Найдите
Решение: Нарисуем треугольник ABC. Это равнобедренный треугольник.
Запишем теорему косинусов для сторону так как нам дан угол между двумя другими сторонами:
.
Так как , то из формулы (1), получим:
Сделаем замену: :
,
перенесем в правую часть равенства и получим квадратное уравнение:
,
Подставим значения:
Так как , значит,
.
Ответ: 6
Задача 3
Решите треугольник ABC, если известно, что ,
,
.
Решение: Решить треугольник – это значит, найти все его стороны и все углы. Нам два угла даны, значит, зная, что сумма всех углов в треугольнике равна получим:
.
Обозначим неизвестные стороны треугольника: ,
.
Выразим сторону треугольник по теореме косинусов:
Выразим сторону треугольника по теореме косинусов:
или
Решим уравнения (1) и (2) совместно, записав их в систему уравнений:
Преобразуем второе уравнение системы:
Сложим первое и второе уравнения системы и запишем получившееся уравнение вместо второго уравнения, получим:
Из второго уравнения выразим :
Итак, мы выразили из второго уравнения системы, теперь возьмем и подставим его в первое уравнение и сделаем необходимые преобразования.
, раскрываем скобки и умножим левую и правую части уравнения на 2:
Разделим левую и правую части уравнения на 2:
.
Получили квадратное уравнение. Решим его.
Находим дискриминант:
Тогда корни уравнения:
.
Оба значения подходят – они положительны. Находим, :
– отрицательное значение нам не подходит.
.
Таким образом, получаем следующие значения ,
.
Вы можете самостоятельно сделать проверку и убедиться в том, что данные значения верны.
Ответ: ,
.
Теорема косинусов для треугольника очень помогает в решении геометрических задач, однако некоторые задачи усложняются, если не знать еще одну теорему – синусов. Например, третью задачу мы могли решить гораздо проще – используя теорему синусов, с помощью которой мы бы довольно быстро получили тот же результат для . Однако, с ней мы бы получили лишь приближенное значение
. Теорема косинусов дает нам точный результат. Однако, в дальнейшем, когда вы выучите две теоремы – рекомендуем решать задачи, используя их обе.