Пятница, 17 сентября 2021   Подписка на обновления
Пятница, 17 сентября 2021   Подписка на обновления
Популярно
Теорема косинусов

Теорема косинусов


Теорема косинусов отлично помогает в решении треугольников. Решение треугольника — это нахождение всех его сторон и углов. Но если нам даны только стороны треугольника, как определить углы в нем? Вот тогда и приходит на помощь теорема косинусов. Это общий случай теоремы Пифагора, подходящий для треугольника с любым углом, не только с углом 900.

Теорема и доказательство

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Произвольный треугольник Теорема косинусов и обозначения
Треугольник к теореме косинусов

c^2=a^2+b^2-2ab \cos{C}

где a, b, c  — стороны треугольника,

C — угол треугольника, напротив стороны c.

Доказательство теоремы косинусов

Докажем теорему. Для этого нарисуем треугольник ABC и докажем, что:

    \[BC^2=AB^2+AC^2-2AB \cdot AC \cdot \cos A \eqno      (1)\]

Треугольник АВС к теореме косинусов

Если рассматривать стороны треугольника, как векторы, то будет справедливо равенство:

\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}.

В теореме BC в квадрате, значит возведем векторное равенство в квадрат, получим:

    \[\overrightarrow{BC}^2=\overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{AC}^2-2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} \eqno  (2)\]

Так как, \overrightarrow{BC}^2={BC}^2, \overrightarrow{AC}={AC}^2, а скалярное произведение векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними, то есть \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}={AB}\cdot {AC} \cdot \cos A.

Подставим все в формулу (2):

BC^2=AB^2+AC^2-2AB \cdot AC \cdot \cos A.

Что и требовалось доказать.

Следствие теоремы косинусов

Проведем высоты CD:

Треугольник АВС к следствию теоремы косинусов

Обратим внимание, что AC \cdot \cos A = AD. То есть AD — это проекция стороны AC на сторону AB треугольника ABC. Если угол А острый, то AC \cdot \cos A >0, если угол А тупой, то косинус угла А будет отрицательным и AC \cdot \cos A <0. То есть из теоремы косинусов вытекает важное следствие:

квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон «\pm» удвоенное произведение одной из них на проекцию другой на эту сторону. Знак + надо брать, если угол тупой, а знак -, если угол острый.

Задачи на теорему косинусов

Задача 1

Найдите BC, если дано: \angle B = 60^{\circ}AB=8, AC=4\sqrt 7.

Задача на теорему косинусов

Решение: Так как нам известен угол между сторонами AB и BC и известна сторона AC — мы сможем найти сторону ВС,  если воспользуемся теоремой косинусов.

Из теоремы косинусов AC^2={AB}^2+{BC}^2-2AB \cdot {BC} \cos {\angle B} выразим сторону BC.

Получим:

{BC}^2-2AB \cdot {BC} \cos {\angle B}-AC^2+{AB}^2 = 0

Обозначим {BC}=x

Тогда

x^2-2AB \cdot  \cos {\angle B} \cdot x-AC^2+{AB}^2=0

Получаем квадратное уравнение. Подставим в него значения и решим:

x^2-2 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} x-{(4 \sqrt 7)}^2+8^2=0

x^2-8x-112+64=0

x^2-8x-48=0

Находим дискриминант:

D=b^2-4ac=64-4\cdot(-48)=64+192=256.

Тогда x_1=\frac{8+16}{2}=\frac{24}{2}=12.

x_2=\frac{8-16}{2}=\frac{-8}{2}=-4 — не может быть длиной стороны треугольника.

Ответ: 12.

Задача 2

В треугольника ABC AC=BC, \angle C=120^{\circ}, AB=6\sqrt{3}. Найдите AC

Решение: Нарисуем треугольник ABC. Это равнобедренный треугольник.

Треугольник к задаче на теорему косинусов 2

Запишем теорему косинусов для сторону AB так как нам дан угол между двумя другими сторонами:

    \[AB^2={AC}^2+{BC}^2-2AC \cdot {BC} \cos {\angle 120^{\circ}} \eqno    (1)\]

.

Так как AC=BC, то из формулы (1), получим:

AB^2=2{AC}^2-2{AC}^2 \cdot \cos {\angle 120^{\circ}}

Сделаем замену: AC=x:

AB^2=2{x}^2-2{x}^2 \cdot \cos {\angle 120^{\circ}},

перенесем {AB}^2 в правую часть равенства и получим квадратное уравнение:

2{x}^2-2{x}^2 \cdot \cos {\angle 120^{\circ}}-{AB}^2=0,

Подставим значения:

2{x}^2-2{x}^2 \cdot \cos {\angle 120^{\circ}}-{(6\sqrt{3})}^2=0

\cos {\angle 120^{\circ}}=-\frac{1}{2}

2{x}^2+{x}^2-108=0

3{x}^2=108

{x}^2=36

x=\sqrt{36}

x=6

Так как x=AC, значит, AC=6.

Ответ: 6

Задача 3

Решите треугольник ABC, если известно, что \angle A=30^{\circ}, AB=4, \angle C=45^{\circ}.

К задаче 3 по теореме косинусов

Решение: Решить треугольник — это значит, найти все его стороны и все углы. Нам два угла даны, значит, зная, что сумма всех углов в треугольнике равна 180^{\circ} получим:

\angle B = 180^{\circ}-30^{\circ}-45^{\circ}=105^{\circ}.

Обозначим неизвестные стороны треугольника: AC=x,   BC=y.

Выразим сторону треугольник AB по теореме косинусов:

    \[AB^2={x}^2+y^2-2{xy} \cdot \cos {45^{\circ}}\eqno (1)\]

Выразим сторону треугольника BC=y по теореме косинусов:

y^2={x}^2+{AB}^2-2{x}\cdot{AB} \cdot \cos {30^{\circ}}

или

    \[y^2={x}^2+16-8{x}\cdot \cos {30^{\circ}} \eqno   (2)\]

Решим уравнения (1) и (2) совместно, записав их в систему уравнений:

    \[\left\{ \begin{aligned} AB^2={x}^2+y^2-2{xy} \cdot \cos {45^{\circ}}\\ y^2={x}^2+16-8{x}\cdot \cos {30^{\circ}}.\\ \end{aligned} \right.\]

    \[\left\{ \begin{aligned} 16={x}^2+y^2-{xy} \cdot \sqrt{2}\\ y^2={x}^2+16-4{x}\cdot \sqrt{3}.\\ \end{aligned} \right.\]

Преобразуем второе уравнение системы:

    \[\left\{ \begin{aligned} 16={x}^2+y^2-{xy} \cdot \sqrt{2}\\ -16={x}^2-y^2-4{x}\cdot \sqrt{3}.\\ \end{aligned} \right.\]

Сложим первое и второе уравнения системы и запишем получившееся уравнение вместо второго уравнения, получим:

    \[\left\{ \begin{aligned} 16={x}^2+y^2-{xy} \cdot \sqrt{2}\\ 0=2{x}^2-xy \sqrt{2}-4{x}\cdot \sqrt{3}.\\ \end{aligned} \right.\]

Из второго уравнения выразим y:

xy \sqrt{2}=2x^2-4x \sqrt{3}

y=\frac{2x^2-4x \sqrt{3}}{x \sqrt{2}}

y=\frac{2x-4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}

Итак, мы выразили y из второго уравнения системы, теперь возьмем и подставим его в первое уравнение и сделаем необходимые преобразования.

16=x^2+(\frac{2x-4\sqrt{3}}{\sqrt{2}})^2-x \sqrt{2}(\frac{2x-4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}), раскрываем скобки и умножим левую и правую части уравнения на 2:

32=2x^2+4x^2-16x \sqrt{3}+16 \cdot 3-2x(2x-4 \sqrt{3})

2x^2-8x \sqrt{3}+48-32=0

2x^2-8x \sqrt{3}+16=0

Разделим левую и правую части уравнения на 2:

x^2-4x \sqrt{3}+8=0.

Получили квадратное уравнение. Решим его.

Находим дискриминант:

D=b^2-4ac=(4 \sqrt{3})^2-4 \cdot 8 \cdot 1=16 \cdot 3 - 32=48-32=16

Тогда корни уравнения:

x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{4 \sqrt{3}-4}{2}=2 \sqrt{3}-2

x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{4 \sqrt{3}+4}{2}=2 \sqrt{3}+2.

Оба значения подходят — они положительны. Находим, y:

y_1= \frac{2(2 \sqrt{3}-2)-4 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{-4}{\sqrt{2}} — отрицательное значение нам не подходит.

y_2= \frac{2(2 \sqrt{3}+2)-4 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2 \sqrt{2}.

Таким образом, получаем следующие значения x=2 \sqrt{3}+2, y=2 \sqrt{2}.

Вы можете самостоятельно сделать проверку и убедиться в том, что данные значения верны.

Ответ: AC=2 \sqrt{3}+2BC=2 \sqrt{2}.

Теорема косинусов для треугольника очень помогает в решении геометрических задач, однако некоторые задачи усложняются, если не знать еще одну теорему — синусов. Например, третью задачу мы могли решить гораздо проще — используя теорему синусов, с помощью которой мы бы довольно быстро получили тот же результат для y. Однако, с ней мы бы получили лишь приближенное значение x. Теорема косинусов дает нам точный результат. Однако, в дальнейшем, когда вы выучите две теоремы — рекомендуем решать задачи, используя их обе.

Об авторе: Ольга Викторовна


© 2021 Темы школьной программы — математика 5-11 класс
Дизайн и поддержка: GoodwinPress.ru