Теорема косинусов для треугольника - формула, доказательство

Теорема косинусов отлично помогает в решении треугольников. Решение треугольника – это нахождение всех его сторон и углов. Но если нам даны только стороны треугольника, как определить углы в нем? Вот тогда и приходит на помощь теорема косинусов. Это общий случай теоремы Пифагора, подходящий для треугольника с любым углом, не только с углом 90⁰.

Содержание

Теорема и доказательство

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Произвольный треугольник

Теорема косинусов и обозначения

$c^2=a^2+b^2-2ab \cos{C}$

где $a$ , $b$ , $c$ – стороны треугольника,

$C$ – угол треугольника, напротив стороны $c$ .

Доказательство теоремы косинусов

Докажем теорему. Для этого нарисуем треугольник ABC и докажем, что:

$BC^2=AB^2+AC^2-2AB \cdot AC \cdot \cos A \eqno (1)$

Если рассматривать стороны треугольника, как векторы, то будет справедливо равенство:

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ .

В теореме $BC$ в квадрате, значит возведем векторное равенство в квадрат, получим:

$\overrightarrow{BC}^2=\overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{AC}^2-2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} \eqno (2)$

Так как, $\overrightarrow{BC}^2={BC}^2$ , $\overrightarrow{AC}={AC}^2$ , а скалярное произведение векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними, то есть $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}={AB}\cdot {AC} \cdot \cos A$ .

Подставим все в формулу (2):

$BC^2=AB^2+AC^2-2AB \cdot AC \cdot \cos A$ .

Что и требовалось доказать.

Следствие теоремы косинусов

Проведем высоты $CD$ :

Обратим внимание, что $AC \cdot \cos A = AD$ . То есть $AD$ – это проекция стороны $AC$ на сторону $AB$ треугольника $ABC$ . Если угол А острый, то $AC \cdot \cos A >0$ , если угол А тупой, то косинус угла А будет отрицательным и $AC \cdot \cos A <0$ . То есть из теоремы косинусов вытекает важное следствие:

квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон “ $\pm$ ” удвоенное произведение одной из них на проекцию другой на эту сторону. Знак $+$ надо брать, если угол тупой, а знак $-$ , если угол острый.

Задачи на теорему косинусов

Задача 1

Найдите $BC$ , если дано: $\angle B = 60^{\circ}$ , $AB=8$ , $AC=4\sqrt 7$ .

Решение: Так как нам известен угол между сторонами $AB$ и $BC$ и известна сторона $AC$ – мы сможем найти сторону $ВС$ , если воспользуемся теоремой косинусов.

Из теоремы косинусов $AC^2={AB}^2+{BC}^2-2AB \cdot {BC} \cos {\angle B}$ выразим сторону $BC$ .

Получим:

${BC}^2-2AB \cdot {BC} \cos {\angle B}-AC^2+{AB}^2 = 0$

Обозначим ${BC}=x$

Тогда

$x^2-2AB \cdot \cos {\angle B} \cdot x-AC^2+{AB}^2=0$

Получаем квадратное уравнение. Подставим в него значения и решим:

$x^2-2 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} x-{(4 \sqrt 7)}^2+8^2=0$

$x^2-8x-112+64=0$

$x^2-8x-48=0$

Находим дискриминант:

$D=b^2-4ac=64-4\cdot(-48)=64+192=256$ .

Тогда $x_1=\frac{8+16}{2}=\frac{24}{2}=12$ .

$x_2=\frac{8-16}{2}=\frac{-8}{2}=-4$ – не может быть длиной стороны треугольника.

Ответ: 12.

Задача 2

В треугольника ABC $AC=BC$ , $\angle C=120^{\circ}$ , $AB=6\sqrt{3}$ . Найдите $AC$

Решение: Нарисуем треугольник ABC. Это равнобедренный треугольник.

Запишем теорему косинусов для сторону $AB$ так как нам дан угол между двумя другими сторонами:

$AB^2={AC}^2+{BC}^2-2AC \cdot {BC} \cos {\angle 120^{\circ}} \eqno (1)$

Так как $AC=BC$ , то из формулы (1), получим:

$AB^2=2{AC}^2-2{AC}^2 \cdot \cos {\angle 120^{\circ}}$

Сделаем замену: $AC=x$ :

$AB^2=2{x}^2-2{x}^2 \cdot \cos {\angle 120^{\circ}}$ ,

перенесем ${AB}^2$ в правую часть равенства и получим квадратное уравнение:

$2{x}^2-2{x}^2 \cdot \cos {\angle 120^{\circ}}-{AB}^2=0$ ,

Подставим значения:

$2{x}^2-2{x}^2 \cdot \cos {\angle 120^{\circ}}-{(6\sqrt{3})}^2=0$

$\cos {\angle 120^{\circ}}=-\frac{1}{2}$

$2{x}^2+{x}^2-108=0$

$3{x}^2=108$

${x}^2=36$

$x=\sqrt{36}$

$x=6$

Так как $x=AC$ , значит, $AC=6$ .

Ответ: 6

Задача 3

Решите треугольник ABC, если известно, что $\angle A=30^{\circ}$ , $AB=4$ , $\angle C=45^{\circ}$ .

Решение: Решить треугольник – это значит, найти все его стороны и все углы. Нам два угла даны, значит, зная, что сумма всех углов в треугольнике равна $180^{\circ}$ получим:

$\angle B = 180^{\circ}-30^{\circ}-45^{\circ}=105^{\circ}$ .

Обозначим неизвестные стороны треугольника: $AC=x$ , $BC=y$ .

Выразим сторону треугольник $AB$ по теореме косинусов:

$AB^2={x}^2+y^2-2{xy} \cdot \cos {45^{\circ}}\eqno (1)$

Выразим сторону треугольника $BC=y$ по теореме косинусов:

$y^2={x}^2+{AB}^2-2{x}\cdot{AB} \cdot \cos {30^{\circ}}$

или

$y^2={x}^2+16-8{x}\cdot \cos {30^{\circ}} \eqno (2)$

Решим уравнения (1) и (2) совместно, записав их в систему уравнений:

$\left\{ \begin{aligned} AB^2={x}^2+y^2-2{xy} \cdot \cos {45^{\circ}}\\ y^2={x}^2+16-8{x}\cdot \cos {30^{\circ}}.\\ \end{aligned} \right.$

$\left\{ \begin{aligned} 16={x}^2+y^2-{xy} \cdot \sqrt{2}\\ y^2={x}^2+16-4{x}\cdot \sqrt{3}.\\ \end{aligned} \right.$

Преобразуем второе уравнение системы:

$\left\{ \begin{aligned} 16={x}^2+y^2-{xy} \cdot \sqrt{2}\\ -16={x}^2-y^2-4{x}\cdot \sqrt{3}.\\ \end{aligned} \right.$

Сложим первое и второе уравнения системы и запишем получившееся уравнение вместо второго уравнения, получим:

$\left\{ \begin{aligned} 16={x}^2+y^2-{xy} \cdot \sqrt{2}\\ 0=2{x}^2-xy \sqrt{2}-4{x}\cdot \sqrt{3}.\\ \end{aligned} \right.$

Из второго уравнения выразим $y$ :

$xy \sqrt{2}=2x^2-4x \sqrt{3}$

$y=\frac{2x^2-4x \sqrt{3}}{x \sqrt{2}}$

$y=\frac{2x-4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Итак, мы выразили $y$ из второго уравнения системы, теперь возьмем и подставим его в первое уравнение и сделаем необходимые преобразования.

$16=x^2+(\frac{2x-4\sqrt{3}}{\sqrt{2}})^2-x \sqrt{2}(\frac{2x-4\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$ , раскрываем скобки и умножим левую и правую части уравнения на 2:

$32=2x^2+4x^2-16x \sqrt{3}+16 \cdot 3-2x(2x-4 \sqrt{3})$

$2x^2-8x \sqrt{3}+48-32=0$

$2x^2-8x \sqrt{3}+16=0$

Разделим левую и правую части уравнения на 2:

$x^2-4x \sqrt{3}+8=0$ .

Получили квадратное уравнение. Решим его.

Находим дискриминант:

$D=b^2-4ac=(4 \sqrt{3})^2-4 \cdot 8 \cdot 1=16 \cdot 3 - 32=48-32=16$

Тогда корни уравнения:

$x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{4 \sqrt{3}-4}{2}=2 \sqrt{3}-2$

$x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{4 \sqrt{3}+4}{2}=2 \sqrt{3}+2$ .

Оба значения подходят – они положительны. Находим, $y$ :

$y_1= \frac{2(2 \sqrt{3}-2)-4 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{-4}{\sqrt{2}}$ – отрицательное значение нам не подходит.

$y_2= \frac{2(2 \sqrt{3}+2)-4 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2 \sqrt{2}$ .

Таким образом, получаем следующие значения $x=2 \sqrt{3}+2$ , $y=2 \sqrt{2}$ .

Вы можете самостоятельно сделать проверку и убедиться в том, что данные значения верны.

Ответ: $AC=2 \sqrt{3}+2$ , $BC=2 \sqrt{2}$ .

Теорема косинусов для треугольника очень помогает в решении геометрических задач, однако некоторые задачи усложняются, если не знать еще одну теорему – синусов. Например, третью задачу мы могли решить гораздо проще – используя теорему синусов, с помощью которой мы бы довольно быстро получили тот же результат для $y$ . Однако, с ней мы бы получили лишь приближенное значение $x$ . Теорема косинусов дает нам точный результат. Однако, в дальнейшем, когда вы выучите две теоремы – рекомендуем решать задачи, используя их обе.

Добавить комментарий

SamuelEvige 08.02.2023 в 18:11

Quis possimus voluptas et sed
[url=https://k2kotel.ru/kotly-dlya-kosmetiki]Котел для варки косметики[/url]
vel adipisci. Qui eaque soluta perspiciatis. Autem earum et suscipit quasi ut. Voluptate sapiente voluptatem repudiandae officia similique voluptatum alias. Suscipit est minus aut. Laudantium dolorum quaerat quibusdam excepturi et rerum.

Sequi eius officiis eveniet est qui consequatur facere rerum. Rerum molestiae blanditiis quia dolorem quo et nisi. Quia itaque optio velit ea quod sapiente consequatur. Optio optio delectus consectetur sint eaque.

Eos sit earum quis. Ipsam et sapiente esse. Distinctio eius similique explicabo doloremque est quos perferendis omnis.

Dolorem minima voluptas velit expedita porro. Voluptatibus eos aut quia. Laborum eligendi cupiditate soluta commodi labore sed autem. Assumenda qui vel culpa rerum. Corporis nostrum ut consequatur nobis.

Ответить
Josephlaf 08.03.2023 в 19:05

Ut aut minima quam. Voluptas cumque impedit et voluptas velit reiciendis et ea. Dolores voluptatibus magni voluptas minus explicabo ut et repellendus. Voluptas ab harum aspernatur.
[url=https://xrumer.us/]прогоны хрумером[/url]
Et reiciendis blanditiis ratione vel nesciunt nobis dolor. Officiis est aut qui sit temporibus. Porro qui sunt eos voluptatem ad velit. Vel nihil dolorem laborum consequatur dolores impedit sed. Iste iste porro nulla ducimus natus maiores quis.
прогоны хрумером
Deserunt ab doloremque accusantium expedita beatae numquam. Molestias non numquam aut. Accusamus voluptates qui aliquam asperiores perferendis.

A sit beatae architecto voluptates dolorum ipsum. Aliquam quod et omnis sunt enim aliquid. Enim eum facere hic natus ut aut. Sit iste aspernatur labore aliquam sit id cumque voluptas. Occaecati laboriosam quo possimus odio perspiciatis est.
https://xrumer.us
Voluptas fugiat et est blanditiis. Sit at voluptate asperiores adipisci voluptas. Nisi qui eligendi nostrum earum. Explicabo sunt magni quia eaque consequuntur ut aut quaerat. Asperiores qui repellat est similique voluptas veniam ut at.

Ответить