Проведите 6 прямых и отметьте на них 11 точек

Это задача по геометрии 7 класс. Звучать она может так “Проведите 6 прямых и отметьте на них 11 точек так, чтобы на каждой прямой было отмечено ровно 4 точки“. Задача относится к теме “Взаимное расположение прямых и точек на плоскости”. Задача повышенного уровня и обычно такие задачи предлагаются в математических классах. Давайте попробуем решить эту задачу.

Проведите 6 прямых и отметьте на них 11 точек

Рассмотрим решение той задачи. Ее условие: проведите 6 прямых и отметьте на них 11 точек так, чтобы на каждой прямой было отмечено ровно 4 точки.

Задача нестандартная и относится скорее к задачам головоломкам. Можно много раз пытаться провести линии, но так и не начертить данные прямые верно. Давайте будем рассуждать.

Решение:

Если мы просто проведем прямые и отметим на них точки, то получится точки, а у нас их должно быть всего 11. Значит, мы делаем вывод, что какие то точки принадлежат сразу двум и более прямым. Допустим, что каждые две прямые пересекаются и их точки совпадают – одновременно принадлежат обеим прямым. Тогда, с каждого попарного пересечения двух прямых мы получим 2 точки на каждой прямой (см. рис.1).

Но у нас на каждой прямой должно быть 4 точки и у нас вообще 6 прямых. Пусть теперь у нас пересекутся три прямые и еще три прямые, см. рисунок 2.

Тогда на каждой прямой будет лежать по 3 точки итого всего 9 точек. Если мы еще на каждой из этих 6 прямых поставим по точке, чтобы у нас стало именно 4 точки на каждой прямой, то не угодим тому условию, что всего должно быть 11 точек, ведь тогда у нас получится 9+6=15.

Значит, всего мы можем добавить только 2 точки. А это можно сделать только так, чтобы каждая тройка прямых пересекалась в одной точке (см. рис.3).

Вот так мы и получим 11 точек. При этом на каждой прямой мы отметили только 4 точки.