Воскресенье, 29 ноября 2020   Подписка на обновления
Воскресенье, 29 ноября 2020   Подписка на обновления
Популярно
Докажите, что при любых целых a и b одно из чисел a, b, a-b, a+b делится на 3

Докажите, что при любых целых a и b одно из чисел a, b, a-b, a+b делится на 3


Итак, задание звучит так «Докажите, что при любых целых a и b одно из чисел a, b, a-b, a+b делится на 3».

Доказательство

Пусть у нас имеется два числа, если хотя бы одно из них делится на 3, то утверждение сразу доказано. Допустим, что ни одно из данных чисел не делится на 3, тогда при делении на 3 мы будем иметь остаток от деления. Естественно такой остаток не может быть больше или равен 3, и не равен 0 (тогда бы число разделилось на 3 полностью). То есть остаток от деления на 3 может быть 1 или 2.

Если остатка нет

Таким образом, числа a и b можно записать так:

a=3\cdot n_1 +r_1, где n_1 — неполное частное от деления a на 3, a r_1  — остаток. Например 7=3\cdot2+1 Здесь n_1=2, а r_1=1

Аналогично запишем число b:

b=3\cdot n_2 +r_2, где n_2 -неполное частное от деления b на 3, a r_2  — остаток.

Тогда возможны два варианта:

  1. Остатки r_1=r_2
  2. Остатки r_1 \neq r_2

Рассмотрим каждый вариант в отдельности.

  1. Если r_1=r_2 то тогда число a-b делится на 3. В самом деле: a-b=3\cdot n_1 +r_1-3\cdot n_2 -r_2=3\cdot n_1-3\cdot n_2=3(n_1-n_2), то есть число a-b делится на 3, так как его можно разложить на множители 3 и n_1-n_2.
  2. Если r_1 \neq r_2, то тогда число a+b делится на 3. Действительно: a-b=3\cdot n_1 +r_1+3\cdot n_2+r_2=3(n_1+n_2)+ (r_1+r_2) Первое слагаемое делится на 3, второе слагаемое тоже делится на 3, так как остатки не равны, то один из остатков может быть равен 1, а другой 2, в сумме они всегда дадут 3.

Таким образом, мы доказали, что какими бы не были числа a и  b, одно из чисел a, b, a-b, a+b делится на 3.

Об авторе: Андрющенко Ольга Викторовна

Андрющенко Ольга Викторовна

© 2020 Репетитор по математике
Дизайн и поддержка: GoodwinPress.ru

Adblock
detector