Докажите, что при любых целых a и b одно из чисел a, b, a-b, a+b делится на 3

Итак, задание звучит так “Докажите, что при любых целых a и b одно из чисел a, b, a-b, a+b делится на 3”.

Доказательство

Пусть у нас имеется два числа, если хотя бы одно из них делится на 3, то утверждение сразу доказано. Допустим, что ни одно из данных чисел не делится на 3, тогда при делении на 3 мы будем иметь остаток от деления. Естественно такой остаток не может быть больше или равен 3, и не равен 0 (тогда бы число разделилось на 3 полностью). То есть остаток от деления на 3 может быть 1 или 2.

Таким образом, числа a и b можно записать так:

, где – неполное частное от деления a на 3, a   – остаток. Например Здесь , а

Аналогично запишем число b:

, где -неполное частное от деления b на 3, a   – остаток.

Тогда возможны два варианта:

1. Остатки
2. Остатки

Рассмотрим каждый вариант в отдельности.

1. Если  то тогда число a-b делится на 3. В самом деле: , то есть число a-b делится на 3, так как его можно разложить на множители 3 и .
2. Если , то тогда число a+b делится на 3. Действительно:  Первое слагаемое делится на 3, второе слагаемое тоже делится на 3, так как остатки не равны, то один из остатков может быть равен 1, а другой 2, в сумме они всегда дадут 3.

Таким образом, мы доказали, что какими бы не были числа a и  b, одно из чисел a, b, a-b, a+b делится на 3.