Тема магического квадрата очень интересна школьникам, поэтому эту тему можно использовать для увлечения детей математикой.
Содержание
Определение магического квадрата
Магический квадрат – это квадратная – таблица
целых чисел от 1 до
, удовлетворяющая следующим условиям:
, (1)
где
Простыми словами магический квадрат – это квадратная матрица (таблица) чисел, сумма который по вертикали, горизонтали и диагонали равна одному и тому же числу.
Как выглядит магический квадрат
Давайте разберемся, что это означает. Возьмем магический квадрат , то есть квадрат имеет 4 столбца и 4 строчки и выглядит так:
Для этого квадрата найдем магическое число:
Таким образом сумма каждой строчки магического квадрата должна быть 34, каждого столбца, а также любой диагонали.
Древние магические квадраты
Однако, расстановка чисел в магическом квадрате не обязательно будет однозначной. Например, посмотрите два магических квадрата размером :
Первый магический квадрат:
7 | 12 | 1 | 14 |
2 | 13 | 8 | 11 |
16 | 3 | 10 | 5 |
9 | 6 | 15 | 4 |
Этот квадрат был впервые найден в Индии, и трактовался, как дьявольский квадрат, датируется 11 веком. В действительности очень интересно узнать, откуда люди решили, что искомая сумма числе по строке, по столбцу или по диагонали должна быть именно 34?
А вот еще один магический квадрат размера . Этот квадрат уже из 16 века. Этот квадрат был обнаружен на гравюре, которую создал Альберт Дюрер и назвал ее “Меланхолия I”. Поэтому квадрат называют “магический квадрат Дюрера”. Гравюра была написана в 1514 году и три числа внизу указывают год ее создания.
Известно более 48 видов магических квадратов размера .
Минимально возможные суммы магического квадрата
Постоянные значения M суммы магических квадратов имеют минимальное значение (для положительных ненулевых целочисленных значений):
Для размера 3×3 минимальная сумма равна 15, для 4×4 – 34, для 5×5 – 65, для 6×6 – 111, затем 175, 260, …
Все, что меньше, вынуждает использовать отрицательные числа или дроби (не целые числа) для решения магического квадрата.
Магический квадрат Франклина восьмого порядка
Квадрат Франклина – это панмагический квадрат с магической постоянной 260. Интересный квадрат с множеством свойств. Рекомендую прочитать статью о нем: http://klassikpoez.narod.ru/franklin.htm
52 | 61 | 4 | 13 | 20 | 29 | 36 | 45 |
14 | 3 | 62 | 51 | 46 | 35 | 30 | 19 |
53 | 60 | 5 | 12 | 21 | 28 | 37 | 44 |
11 | 6 | 59 | 54 | 43 | 38 | 27 | 22 |
55 | 58 | 7 | 10 | 23 | 26 | 39 | 42 |
9 | 8 | 57 | 56 | 41 | 40 | 25 | 24 |
50 | 63 | 2 | 15 | 18 | 31 | 34 | 47 |
16 | 1 | 64 | 49 | 48 | 33 | 32 | 17 |
Магический квадрат Ло-Шу
Этот квадрат не относится к математике, а относится к китайской метафизике, используется в Фен-Шуй.
Бимагические и тримагические квадраты
Бимагическим квадратом называется квадрат, который остается магическим тогда, когда мы заменяем все его числа квадратами этих чисел.
Паскаль написал небольшой трактат и би- и три- магических квадратах.
Тримагическим квадратом называется квадрат, который остается магическим тогда, когда мы заменяем все его числа кубами этих чисел.
Бимагические квадрат размером 128 x 128 был обнаружен в 1905 году. В 2002 году, немцу Уолтеру Трампу удалось построить тримагический квадрат 12 x 12 и это минимальное измерение, которое возможно для этого вида магического квадрата.