Магический квадрат

Автор Ольга Викторовна Опубликовано 28.03.2021

Тема магического квадрата очень интересна школьникам, поэтому эту тему можно использовать для увлечения детей математикой.

Содержание

Определение магического квадрата

Магический квадрат – это квадратная $n \times n$ – таблица $\Vert a_{ij}\Vert$ целых чисел от 1 до $n^2$ , удовлетворяющая следующим условиям:

$\sum_{i=1}^{n}a_{ij}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}=\sum_{i=1}^{n}a_{i, n+1-i}=s$ , (1)

где $s=n(n^2+1)/2$

Простыми словами магический квадрат – это квадратная матрица (таблица) чисел, сумма который по вертикали, горизонтали и диагонали равна одному и тому же числу.

Как выглядит магический квадрат

Давайте разберемся, что это означает. Возьмем магический квадрат $4 \times 4$ , то есть квадрат имеет 4 столбца и 4 строчки и выглядит так:

$a_{11}$	$a_{12}$	$a_{13}$	$a_{14}$
$a_{21}$	$a_{22}$	$a_{23}$	$a_{24}$
$a_{31}$	$a_{32}$	$a_{33}$	$a_{34}$
$a_{41}$	$a_{42}$	$a_{43}$	$a_{44}$

Для этого квадрата найдем магическое число: $s=4(4^2+1)/2 = 34$

Таким образом сумма каждой строчки магического квадрата должна быть 34, каждого столбца, а также любой диагонали.

Древние магические квадраты

Однако, расстановка чисел в магическом квадрате не обязательно будет однозначной. Например, посмотрите два магических квадрата размером $4 \times 4$ :

Первый магический квадрат:

7	12	1	14
2	13	8	11
16	3	10	5
9	6	15	4

Этот квадрат был впервые найден в Индии, и трактовался, как дьявольский квадрат, датируется 11 веком. В действительности очень интересно узнать, откуда люди решили, что искомая сумма числе по строке, по столбцу или по диагонали должна быть именно 34?

А вот еще один магический квадрат размера $4 \times 4$ . Этот квадрат уже из 16 века. Этот квадрат был обнаружен на гравюре, которую создал Альберт Дюрер и назвал ее “Меланхолия I”. Поэтому квадрат называют “магический квадрат Дюрера”. Гравюра была написана в 1514 году и три числа внизу указывают год ее создания.

Известно более 48 видов магических квадратов размера $4 \times 4$ .

Минимально возможные суммы магического квадрата

Постоянные значения M суммы магических квадратов имеют минимальное значение (для положительных ненулевых целочисленных значений):

$M=n(n^2+1)/2$

Для размера 3×3 минимальная сумма равна 15, для 4×4 – 34, для 5×5 – 65, для 6×6 – 111, затем 175, 260, …

Все, что меньше, вынуждает использовать отрицательные числа или дроби (не целые числа) для решения магического квадрата.

Магический квадрат Франклина восьмого порядка

Квадрат Франклина – это панмагический квадрат с магической постоянной 260. Интересный квадрат с множеством свойств. Рекомендую прочитать статью о нем: http://klassikpoez.narod.ru/franklin.htm

52	61	4	13	20	29	36	45
14	3	62	51	46	35	30	19
53	60	5	12	21	28	37	44
11	6	59	54	43	38	27	22
55	58	7	10	23	26	39	42
9	8	57	56	41	40	25	24
50	63	2	15	18	31	34	47
16	1	64	49	48	33	32	17

Магический квадрат Ло-Шу

Этот квадрат не относится к математике, а относится к китайской метафизике, используется в Фен-Шуй.

Бимагические и тримагические квадраты

Бимагическим квадратом называется квадрат, который остается магическим тогда, когда мы заменяем все его числа квадратами этих чисел.

Паскаль написал небольшой трактат и би- и три- магических квадратах.

Тримагическим квадратом называется квадрат, который остается магическим тогда, когда мы заменяем все его числа кубами этих чисел.

Бимагические квадрат размером 128 x 128 был обнаружен в 1905 году. В 2002 году, немцу Уолтеру Трампу удалось построить тримагический квадрат 12 x 12 и это минимальное измерение, которое возможно для этого вида магического квадрата.

( 4 оценки, среднее 5 из 5 )

Добавить комментарий

Josephinet 23.01.2024 в 13:38

Shall we exchange links? My website https://zetds.seychellesyoga.com/jml

Ответить
Judyt 24.01.2024 в 14:54

Content for your website https://zetds.seychellesyoga.com/info

Ответить
Sallyt 24.01.2024 в 21:22

Web Development Wizards https://zetds.seychellesyoga.com/info

Ответить
Maggiet 25.01.2024 в 02:46

Can provide a link mass to your website https://zetds.seychellesyoga.com/info

Ответить
Mayt 25.01.2024 в 08:23

Your site’s position in the search results https://zetds.seychellesyoga.com/info

Ответить
Irist 25.01.2024 в 15:02

Free analysis of your website https://zetds.seychellesyoga.com/info

Ответить
Sandrat 25.01.2024 в 17:22

Content for your website https://zetds.seychellesyoga.com/info

Ответить
Lindat 26.01.2024 в 00:03

Web Development Wizards https://zetds.seychellesyoga.com/info

Ответить
Idat 26.01.2024 в 01:37

Web Development Wizards https://zetds.seychellesyoga.com/info

Ответить
Janett 26.01.2024 в 06:48

Can provide a link mass to your website https://zetds.seychellesyoga.com/info

Ответить
Sophiat 26.01.2024 в 13:32

Your site’s position in the search results https://zetds.seychellesyoga.com/info

Ответить
Irenet 27.01.2024 в 01:09

SEO Optimizers Team https://zetds.seychellesyoga.com/info

Ответить
Bridgett 27.01.2024 в 07:05

I offer mutually beneficial cooperation https://zetds.seychellesyoga.com/info

Ответить
Viviant 27.01.2024 в 12:59

Cool website. There is a suggestion https://zetds.seychellesyoga.com/info

Ответить
Melissat 27.01.2024 в 19:07

I really liked your site. Do you mind https://zetds.seychellesyoga.com/info

Ответить
Beatricet 28.01.2024 в 01:09

Here’s what I can offer for the near future https://zetds.seychellesyoga.com/info

Ответить
Jennyt 28.01.2024 в 07:08

You will definitely like it https://zetds.seychellesyoga.com/info

Ответить
Isabellat 28.01.2024 в 12:07

Content for your website https://ztd.bardou.online/adm

Ответить
Mayt 28.01.2024 в 18:09

Web Development Wizards https://ztd.bardou.online/adm

Ответить
Pollyt 29.01.2024 в 00:13

Can provide a link mass to your website https://ztd.bardou.online/adm

Ответить
Pennyt 29.01.2024 в 06:18

Your site’s position in the search results https://ztd.bardou.online/adm

Ответить
Audreyt 29.01.2024 в 12:30

Free analysis of your website https://ztd.bardou.online/adm

Ответить
Monicat 29.01.2024 в 18:41

SEO Optimizers Team https://ztd.bardou.online/adm

Ответить
Josephinet 30.01.2024 в 00:51

I offer mutually beneficial cooperation https://ztd.bardou.online/adm

Ответить
Zoet 30.01.2024 в 06:57

Cool website. There is a suggestion https://ztd.bardou.online/adm

Ответить
Gwinnettt 30.01.2024 в 19:17

Here’s what I can offer for the near future https://ztd.bardou.online/adm

Ответить
Dorothyt 30.01.2024 в 23:51

Content for your website https://ztd.bardou.online/adm

Ответить
Irist 31.01.2024 в 05:45

Web Development Wizards https://ztd.bardou.online/adm

Ответить
Ginat 31.01.2024 в 11:33

Can provide a link mass to your website https://ztd.bardou.online/adm

Ответить
Ellat 31.01.2024 в 17:33

Your site’s position in the search results https://ztd.bardou.online/adm

Ответить
Jennifert 31.01.2024 в 23:30

Free analysis of your website https://ztd.bardou.online/adm

Ответить
Jessicat 01.02.2024 в 05:18

SEO Optimizers Team https://ztd.bardou.online/adm

Ответить
Sabrinat 01.02.2024 в 11:01

I offer mutually beneficial cooperation https://ztd.bardou.online/adm

Ответить
Dorothyt 01.02.2024 в 16:48

Cool website. There is a suggestion https://ztd.bardou.online/adm

Ответить
Chloet 01.02.2024 в 20:05

Content for your website http://myngirls.online/

Ответить
Madisont 02.02.2024 в 01:56

Web Development Wizards http://myngirls.online/

Ответить
Violat 02.02.2024 в 07:43

Can provide a link mass to your website http://myngirls.online/

Ответить
Ivyt 02.02.2024 в 13:27

Your site’s position in the search results http://myngirls.online/

Ответить
Priscillat 03.02.2024 в 03:15

Free analysis of your website http://myngirls.online/

Ответить
Charlotet 03.02.2024 в 16:58

SEO Optimizers Team http://myngirls.online/

Ответить
Lydiat 04.02.2024 в 06:43

I offer mutually beneficial cooperation http://myngirls.online/

Ответить
Chloet 04.02.2024 в 12:15

Content for your website http://fertus.shop/info/

Ответить
Madisont 04.02.2024 в 20:06

Web Development Wizards http://fertus.shop/info/

Ответить
Violat 05.02.2024 в 03:57

Can provide a link mass to your website http://fertus.shop/info/

Ответить
Ivyt 05.02.2024 в 11:47

Your site’s position in the search results http://fertus.shop/info/

Ответить
Priscillat 06.02.2024 в 01:36

Free analysis of your website http://fertus.shop/info/

Ответить
Charlotet 06.02.2024 в 15:26

SEO Optimizers Team http://fertus.shop/info/

Ответить
Lydiat 07.02.2024 в 05:15

I offer mutually beneficial cooperation http://fertus.shop/info/

Ответить
Veronicat 07.02.2024 в 19:06

Cool website. There is a suggestion http://fertus.shop/info/

Ответить
Irmat 08.02.2024 в 08:56

I really liked your site. Do you mind http://fertus.shop/info/

Ответить
Pennyt 08.02.2024 в 22:46

Here’s what I can offer for the near future http://fertus.shop/info/

Ответить
Cassandrat 09.02.2024 в 12:33

You will definitely like it http://fertus.shop/info/

Ответить
Louiset 10.02.2024 в 02:17

The best prices from the best providers http://fertus.shop/info/

Ответить
Valeryt 10.02.2024 в 16:01

Additional earnings on your website http://fertus.shop/info/

Ответить
Irenet 11.02.2024 в 05:44

Analytics of your website http://fertus.shop/info/

Ответить
Paulat 11.02.2024 в 19:28

I would like to post an article http://fertus.shop/info/

Ответить
Candyt 12.02.2024 в 09:19

How to contact the administrator on this issue http://fertus.shop/info/

Ответить
Lilliant 12.02.2024 в 23:25

Shall we exchange links? My website http://fertus.shop/info/

Ответить
Tinat 13.02.2024 в 13:21

The offer is still valid. Details http://fertus.shop/info/

Ответить
Heathert 14.02.2024 в 03:13

We offer cooperation on SEO optimization http://fertus.shop/info/

Ответить
Pamelat 14.02.2024 в 17:03

Content for your website http://fertus.shop/info/

Ответить
Britneyt 15.02.2024 в 06:48

Web Development Wizards http://fertus.shop/info/

Ответить
Leonat 15.02.2024 в 20:26

Can provide a link mass to your website http://fertus.shop/info/

Ответить
Chloet 16.02.2024 в 13:25

Content for your website http://fertus.shop/info/

Ответить
Violat 17.02.2024 в 16:16

Can provide a link mass to your website http://fertus.shop/info/

Ответить
Priscillat 18.02.2024 в 18:53

Free analysis of your website http://fertus.shop/info/

Ответить
Lydiat 19.02.2024 в 21:29

I offer mutually beneficial cooperation http://fertus.shop/info/

Ответить
tlovertonet 29.03.2024 в 07:12

I am often to blogging and i really appreciate your content. The article has really peaks my interest. I am going to bookmark your site and keep checking for new information.

Ответить
tlovertonet 30.04.2024 в 08:27

I cherished as much as you will receive carried out right here. The caricature is tasteful, your authored material stylish. however, you command get bought an impatience over that you would like be turning in the following. unwell undoubtedly come further earlier once more since exactly the same just about a lot incessantly inside case you defend this hike.

Ответить
tlovertonet 17.06.2024 в 14:58

I want forgathering useful info, this post has got me even more info! .

Ответить
Vanessat 24.06.2024 в 03:37

Great article! I appreciate the clear and insightful perspective you’ve shared. It’s fascinating to see how this topic is developing. For those interested in diving deeper, I found an excellent resource that expands on these ideas: check it out here. Looking forward to hearing others’ thoughts and continuing the discussion!

Ответить
Cortez Gedeon 13.07.2024 в 13:15

Say, you got a nice blogThanks Again Really Great

Ответить
Gloriat 22.07.2024 в 14:05

Great read! The clarity and depth of your explanation are commendable. For further reading, here’s a useful resource: EXPLORE FURTHER. Let’s discuss!

Ответить
Лучшие Казино Онлайн: Рейтинг и Отзывы 08.09.2024 в 16:06

Рейтинг казино онлайн основан на таких критериях, как надежность и безопасность (лицензия, сертификаты, отзывы игроков), разнообразие игр (слоты, рулетка, блэкджек), бонусы и акции (приветственные бонусы, бонусы за депозит), поддержка клиентов (качество и скорость ответа) и мобильная версия (удобство и функциональность). Лучшие казино онлайн, такие как Casino-X, Joycasino, Vulkan, Goxbet и Mostbet, предлагают широкий выбор игр, щедрые бонусы и быструю поддержку клиентов. Они имеют лицензию и сертификаты, гарантирующие честность и безопасность игры. Перед выбором казино рекомендуется прочитать отзывы и сравнить бонусы и игры, чтобы найти идеальное место для игры.

Ответить
smortergiremal 17.09.2024 в 08:29

Some truly superb posts on this site, regards for contribution.

Ответить
официальное казино онлайн 17.09.2024 в 16:01

На странице представлено большое количество онлайн казино с различными бонусами. Каждый найдет для себя что-то подходящее. Кэшбэк и фриспины, увеличение депозита и многое другое! На сайте https://skopin-college.ru/ представлены такие казино как: 1GO, LEX, DRIP, VOLNA, MONRO, IZZI, STARDA, FRESH, ROX, LEGZO, JET, SOL Также, не упустите возможность попытать удачу в на эксклюзивных платформах https://t.me/s/kazino_casino_top : KOMETA, DADDY, GAMA, R7, KENT, CAT Все казино аккредитованы и имеют лицензию. Вывод на карту от 5 минут до 12 часов в зависимости от выбранного Вами казино. Онлайн казино не требует подтверждения личности по документам и дает возможность заводить несколько аккаунтов. Самые лояльные казино в списке – новые слоты qbunxepgga

Ответить
zoritoler imol 05.11.2024 в 18:01

I¦ve recently started a website, the information you offer on this site has helped me greatly. Thanks for all of your time & work.

Ответить