Суббота, 16 октября 2021   Подписка на обновления
Суббота, 16 октября 2021   Подписка на обновления
Популярно
Магический квадрат

Магический квадрат


Тема магического квадрата очень интересна школьникам, поэтому эту тему можно использовать для увлечения детей математикой.

Определение магического квадрата

Магический квадрат — это квадратная n \times n — таблица \Vert a_{ij}\Vert целых чисел от 1 до n^2, удовлетворяющая следующим условиям:

\sum_{i=1}^{n}a_{ij}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}=\sum_{i=1}^{n}a_{i, n+1-i}=s, (1)

где s=n(n^2+1)/2

Простыми словами магический квадрат — это квадратная матрица (таблица) чисел, сумма который по вертикали, горизонтали и диагонали равна одному и тому же числу. 

Как выглядит магический квадрат

Давайте разберемся, что это означает. Возьмем магический квадрат 4 \times 4, то есть квадрат имеет 4 столбца и 4 строчки и выглядит так:

a_{11} a_{12} a_{13} a_{14}
a_{21} a_{22} a_{23} a_{24}
a_{31} a_{32} a_{33} a_{34}
a_{41} a_{42} a_{43} a_{44}

Для этого квадрата найдем магическое число: s=4(4^2+1)/2 = 34

Таким образом сумма каждой строчки магического квадрата должна быть 34, каждого столбца, а также любой диагонали.

Древние магические квадраты

Однако, расстановка чисел в магическом квадрате не обязательно будет однозначной. Например, посмотрите два магических квадрата размером  4 \times 4:

Первый магический квадрат:

7 12 1 14
2 13 8 11
16 3 10 5
9 6 15 4

Этот квадрат был впервые найден в Индии, и трактовался, как дьявольский квадрат, датируется 11 веком. В действительности очень интересно узнать, откуда люди решили, что искомая сумма числе по строке, по столбцу или по диагонали должна быть именно 34?

А вот еще один магический квадрат размера 4 \times 4. Этот квадрат уже из 16 века. Этот квадрат был обнаружен на гравюре, которую создал Альберт Дюрер и назвал ее «Меланхолия I». Поэтому квадрат называют «магический квадрат Дюрера». Гравюра была написана в 1514 году и три числа внизу указывают год ее создания.

математический квадрат Дюрера

Известно более 48 видов магических квадратов размера 4 \times 4.

Минимально возможные суммы магического квадрата

Постоянные значения M суммы магических квадратов имеют минимальное значение (для положительных ненулевых целочисленных значений):

M=n(n^2+1)/2

Для размера 3×3 минимальная сумма равна 15, для 4×4 — 34, для 5×5 — 65, для 6×6 — 111, затем 175, 260, …

Все, что меньше, вынуждает использовать отрицательные числа или дроби (не целые числа) для решения магического квадрата.

Магический квадрат Франклина восьмого порядка

Квадрат Франклина — это панмагический квадрат с магической постоянной 260. Интересный квадрат с множеством свойств. Рекомендую прочитать статью о нем: http://klassikpoez.narod.ru/franklin.htm

52 61 4 13 20 29 36 45
14 3 62 51 46 35 30 19
53 60 5 12 21 28 37 44
11 6 59 54 43 38 27 22
55 58 7 10 23 26 39 42
9 8 57 56 41 40 25 24
50 63 2 15 18 31 34 47
16 1 64 49 48 33 32 17

Магический квадрат Ло-Шу

Этот квадрат не относится к математике, а относится к китайской метафизике, используется в Фен-Шуй.

Магический квадрат ло-шу

 

Бимагические и тримагические квадраты

Бимагическим квадратом называется квадрат, который остается магическим тогда, когда мы заменяем все его числа квадратами этих чисел.

Паскаль написал небольшой трактат и би- и три- магических квадратах.

Тримагическим квадратом называется квадрат, который остается магическим тогда, когда мы заменяем все его числа кубами этих чисел.

Бимагические квадрат размером 128 x 128 был обнаружен в 1905 году. В 2002 году, немцу Уолтеру Трампу удалось построить тримагический квадрат 12 x 12 и это минимальное измерение, которое возможно для этого вида магического квадрата.

 

Об авторе: Ольга Викторовна


© 2021 Темы школьной программы — математика 5-11 класс
Дизайн и поддержка: GoodwinPress.ru