...

Магический квадрат

Магический квадрат АЛГЕБРА

Тема магического квадрата очень интересна школьникам, поэтому эту тему можно использовать для увлечения детей математикой.

Определение магического квадрата

Магический квадрат – это квадратная n \times n – таблица \Vert a_{ij}\Vert целых чисел от 1 до n^2, удовлетворяющая следующим условиям:

\sum_{i=1}^{n}a_{ij}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}=\sum_{i=1}^{n}a_{i, n+1-i}=s, (1)

где s=n(n^2+1)/2

Простыми словами магический квадрат – это квадратная матрица (таблица) чисел, сумма который по вертикали, горизонтали и диагонали равна одному и тому же числу. 

Как выглядит магический квадрат

Давайте разберемся, что это означает. Возьмем магический квадрат 4 \times 4, то есть квадрат имеет 4 столбца и 4 строчки и выглядит так:

a_{11} a_{12} a_{13} a_{14}
a_{21} a_{22} a_{23} a_{24}
a_{31} a_{32} a_{33} a_{34}
a_{41} a_{42} a_{43} a_{44}

Для этого квадрата найдем магическое число: s=4(4^2+1)/2 = 34

Таким образом сумма каждой строчки магического квадрата должна быть 34, каждого столбца, а также любой диагонали.

Древние магические квадраты

Однако, расстановка чисел в магическом квадрате не обязательно будет однозначной. Например, посмотрите два магических квадрата размером  4 \times 4:

Первый магический квадрат:

7 12 1 14
2 13 8 11
16 3 10 5
9 6 15 4

Этот квадрат был впервые найден в Индии, и трактовался, как дьявольский квадрат, датируется 11 веком. В действительности очень интересно узнать, откуда люди решили, что искомая сумма числе по строке, по столбцу или по диагонали должна быть именно 34?

А вот еще один магический квадрат размера 4 \times 4. Этот квадрат уже из 16 века. Этот квадрат был обнаружен на гравюре, которую создал Альберт Дюрер и назвал ее “Меланхолия I”. Поэтому квадрат называют “магический квадрат Дюрера”. Гравюра была написана в 1514 году и три числа внизу указывают год ее создания.

математический квадрат Дюрера

Известно более 48 видов магических квадратов размера 4 \times 4.

Минимально возможные суммы магического квадрата

Постоянные значения M суммы магических квадратов имеют минимальное значение (для положительных ненулевых целочисленных значений):

M=n(n^2+1)/2

Для размера 3×3 минимальная сумма равна 15, для 4×4 – 34, для 5×5 – 65, для 6×6 – 111, затем 175, 260, …

Все, что меньше, вынуждает использовать отрицательные числа или дроби (не целые числа) для решения магического квадрата.

Магический квадрат Франклина восьмого порядка

Квадрат Франклина – это панмагический квадрат с магической постоянной 260. Интересный квадрат с множеством свойств. Рекомендую прочитать статью о нем: http://klassikpoez.narod.ru/franklin.htm

52 61 4 13 20 29 36 45
14 3 62 51 46 35 30 19
53 60 5 12 21 28 37 44
11 6 59 54 43 38 27 22
55 58 7 10 23 26 39 42
9 8 57 56 41 40 25 24
50 63 2 15 18 31 34 47
16 1 64 49 48 33 32 17

Магический квадрат Ло-Шу

Этот квадрат не относится к математике, а относится к китайской метафизике, используется в Фен-Шуй.

Магический квадрат ло-шу

 

Бимагические и тримагические квадраты

Бимагическим квадратом называется квадрат, который остается магическим тогда, когда мы заменяем все его числа квадратами этих чисел.

Паскаль написал небольшой трактат и би- и три- магических квадратах.

Тримагическим квадратом называется квадрат, который остается магическим тогда, когда мы заменяем все его числа кубами этих чисел.

Бимагические квадрат размером 128 x 128 был обнаружен в 1905 году. В 2002 году, немцу Уолтеру Трампу удалось построить тримагический квадрат 12 x 12 и это минимальное измерение, которое возможно для этого вида магического квадрата.

 

Оцените статью
( 4 оценки, среднее 5 из 5 )
Поделиться с друзьями
Темы школьной программы - математика 5-11 класс
Добавить комментарий

  1. Josephinet

    Shall we exchange links? My website https://zetds.seychellesyoga.com/jml

    Ответить
  2. Judyt

    Content for your website https://zetds.seychellesyoga.com/info

    Ответить
  3. Sallyt

    Web Development Wizards https://zetds.seychellesyoga.com/info

    Ответить
  4. Maggiet

    Can provide a link mass to your website https://zetds.seychellesyoga.com/info

    Ответить
  5. Mayt

    Your site’s position in the search results https://zetds.seychellesyoga.com/info

    Ответить
  6. Irist

    Free analysis of your website https://zetds.seychellesyoga.com/info

    Ответить
  7. Sandrat

    Content for your website https://zetds.seychellesyoga.com/info

    Ответить
  8. Lindat

    Web Development Wizards https://zetds.seychellesyoga.com/info

    Ответить
  9. Idat

    Web Development Wizards https://zetds.seychellesyoga.com/info

    Ответить
  10. Janett

    Can provide a link mass to your website https://zetds.seychellesyoga.com/info

    Ответить
  11. Sophiat

    Your site’s position in the search results https://zetds.seychellesyoga.com/info

    Ответить
  12. Irenet

    SEO Optimizers Team https://zetds.seychellesyoga.com/info

    Ответить
  13. Bridgett

    I offer mutually beneficial cooperation https://zetds.seychellesyoga.com/info

    Ответить
  14. Viviant

    Cool website. There is a suggestion https://zetds.seychellesyoga.com/info

    Ответить
  15. Melissat

    I really liked your site. Do you mind https://zetds.seychellesyoga.com/info

    Ответить
  16. Beatricet

    Here’s what I can offer for the near future https://zetds.seychellesyoga.com/info

    Ответить
  17. Jennyt

    You will definitely like it https://zetds.seychellesyoga.com/info

    Ответить
  18. Isabellat

    Content for your website https://ztd.bardou.online/adm

    Ответить
  19. Mayt

    Web Development Wizards https://ztd.bardou.online/adm

    Ответить
  20. Pollyt

    Can provide a link mass to your website https://ztd.bardou.online/adm

    Ответить
  21. Pennyt

    Your site’s position in the search results https://ztd.bardou.online/adm

    Ответить
  22. Audreyt

    Free analysis of your website https://ztd.bardou.online/adm

    Ответить
  23. Monicat

    SEO Optimizers Team https://ztd.bardou.online/adm

    Ответить
  24. Josephinet

    I offer mutually beneficial cooperation https://ztd.bardou.online/adm

    Ответить
  25. Zoet

    Cool website. There is a suggestion https://ztd.bardou.online/adm

    Ответить
  26. Gwinnettt

    Here’s what I can offer for the near future https://ztd.bardou.online/adm

    Ответить
  27. Dorothyt

    Content for your website https://ztd.bardou.online/adm

    Ответить
  28. Irist

    Web Development Wizards https://ztd.bardou.online/adm

    Ответить
  29. Ginat

    Can provide a link mass to your website https://ztd.bardou.online/adm

    Ответить
  30. Ellat

    Your site’s position in the search results https://ztd.bardou.online/adm

    Ответить
  31. Jennifert

    Free analysis of your website https://ztd.bardou.online/adm

    Ответить
  32. Jessicat

    SEO Optimizers Team https://ztd.bardou.online/adm

    Ответить
  33. Sabrinat

    I offer mutually beneficial cooperation https://ztd.bardou.online/adm

    Ответить
  34. Dorothyt

    Cool website. There is a suggestion https://ztd.bardou.online/adm

    Ответить
  35. Chloet

    Content for your website http://myngirls.online/

    Ответить
  36. Madisont

    Web Development Wizards http://myngirls.online/

    Ответить
  37. Violat

    Can provide a link mass to your website http://myngirls.online/

    Ответить
  38. Ivyt

    Your site’s position in the search results http://myngirls.online/

    Ответить
  39. Priscillat

    Free analysis of your website http://myngirls.online/

    Ответить
  40. Charlotet

    SEO Optimizers Team http://myngirls.online/

    Ответить
  41. Lydiat

    I offer mutually beneficial cooperation http://myngirls.online/

    Ответить
  42. Chloet

    Content for your website http://fertus.shop/info/

    Ответить
  43. Madisont

    Web Development Wizards http://fertus.shop/info/

    Ответить
  44. Violat

    Can provide a link mass to your website http://fertus.shop/info/

    Ответить
  45. Ivyt

    Your site’s position in the search results http://fertus.shop/info/

    Ответить
  46. Priscillat

    Free analysis of your website http://fertus.shop/info/

    Ответить
  47. Charlotet

    SEO Optimizers Team http://fertus.shop/info/

    Ответить
  48. Lydiat

    I offer mutually beneficial cooperation http://fertus.shop/info/

    Ответить
  49. Veronicat

    Cool website. There is a suggestion http://fertus.shop/info/

    Ответить
  50. Irmat

    I really liked your site. Do you mind http://fertus.shop/info/

    Ответить
  51. Pennyt

    Here’s what I can offer for the near future http://fertus.shop/info/

    Ответить
  52. Cassandrat

    You will definitely like it http://fertus.shop/info/

    Ответить
  53. Louiset

    The best prices from the best providers http://fertus.shop/info/

    Ответить
  54. Valeryt

    Additional earnings on your website http://fertus.shop/info/

    Ответить
  55. Irenet

    Analytics of your website http://fertus.shop/info/

    Ответить
  56. Paulat

    I would like to post an article http://fertus.shop/info/

    Ответить
  57. Candyt

    How to contact the administrator on this issue http://fertus.shop/info/

    Ответить
  58. Lilliant

    Shall we exchange links? My website http://fertus.shop/info/

    Ответить
  59. Tinat

    The offer is still valid. Details http://fertus.shop/info/

    Ответить
  60. Heathert

    We offer cooperation on SEO optimization http://fertus.shop/info/

    Ответить
  61. Pamelat

    Content for your website http://fertus.shop/info/

    Ответить
  62. Britneyt

    Web Development Wizards http://fertus.shop/info/

    Ответить
  63. Leonat

    Can provide a link mass to your website http://fertus.shop/info/

    Ответить
  64. Chloet

    Content for your website http://fertus.shop/info/

    Ответить
  65. Violat

    Can provide a link mass to your website http://fertus.shop/info/

    Ответить
  66. Priscillat

    Free analysis of your website http://fertus.shop/info/

    Ответить
  67. Lydiat

    I offer mutually beneficial cooperation http://fertus.shop/info/

    Ответить
  68. tlovertonet

    I am often to blogging and i really appreciate your content. The article has really peaks my interest. I am going to bookmark your site and keep checking for new information.

    Ответить