...

Магический квадрат

Магический квадрат АЛГЕБРА

Тема магического квадрата очень интересна школьникам, поэтому эту тему можно использовать для увлечения детей математикой.

Определение магического квадрата

Магический квадрат – это квадратная n \times n – таблица \Vert a_{ij}\Vert целых чисел от 1 до n^2, удовлетворяющая следующим условиям:

\sum_{i=1}^{n}a_{ij}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}=\sum_{i=1}^{n}a_{i, n+1-i}=s, (1)

где s=n(n^2+1)/2

Простыми словами магический квадрат – это квадратная матрица (таблица) чисел, сумма который по вертикали, горизонтали и диагонали равна одному и тому же числу. 

Как выглядит магический квадрат

Давайте разберемся, что это означает. Возьмем магический квадрат 4 \times 4, то есть квадрат имеет 4 столбца и 4 строчки и выглядит так:

a_{11} a_{12} a_{13} a_{14}
a_{21} a_{22} a_{23} a_{24}
a_{31} a_{32} a_{33} a_{34}
a_{41} a_{42} a_{43} a_{44}

Для этого квадрата найдем магическое число: s=4(4^2+1)/2 = 34

Таким образом сумма каждой строчки магического квадрата должна быть 34, каждого столбца, а также любой диагонали.

Древние магические квадраты

Однако, расстановка чисел в магическом квадрате не обязательно будет однозначной. Например, посмотрите два магических квадрата размером  4 \times 4:

Первый магический квадрат:

7 12 1 14
2 13 8 11
16 3 10 5
9 6 15 4

Этот квадрат был впервые найден в Индии, и трактовался, как дьявольский квадрат, датируется 11 веком. В действительности очень интересно узнать, откуда люди решили, что искомая сумма числе по строке, по столбцу или по диагонали должна быть именно 34?

А вот еще один магический квадрат размера 4 \times 4. Этот квадрат уже из 16 века. Этот квадрат был обнаружен на гравюре, которую создал Альберт Дюрер и назвал ее “Меланхолия I”. Поэтому квадрат называют “магический квадрат Дюрера”. Гравюра была написана в 1514 году и три числа внизу указывают год ее создания.

математический квадрат Дюрера

Известно более 48 видов магических квадратов размера 4 \times 4.

Минимально возможные суммы магического квадрата

Постоянные значения M суммы магических квадратов имеют минимальное значение (для положительных ненулевых целочисленных значений):

M=n(n^2+1)/2

Для размера 3×3 минимальная сумма равна 15, для 4×4 – 34, для 5×5 – 65, для 6×6 – 111, затем 175, 260, …

Все, что меньше, вынуждает использовать отрицательные числа или дроби (не целые числа) для решения магического квадрата.

Магический квадрат Франклина восьмого порядка

Квадрат Франклина – это панмагический квадрат с магической постоянной 260. Интересный квадрат с множеством свойств. Рекомендую прочитать статью о нем: http://klassikpoez.narod.ru/franklin.htm

52 61 4 13 20 29 36 45
14 3 62 51 46 35 30 19
53 60 5 12 21 28 37 44
11 6 59 54 43 38 27 22
55 58 7 10 23 26 39 42
9 8 57 56 41 40 25 24
50 63 2 15 18 31 34 47
16 1 64 49 48 33 32 17

Магический квадрат Ло-Шу

Этот квадрат не относится к математике, а относится к китайской метафизике, используется в Фен-Шуй.

Магический квадрат ло-шу

 

Бимагические и тримагические квадраты

Бимагическим квадратом называется квадрат, который остается магическим тогда, когда мы заменяем все его числа квадратами этих чисел.

Паскаль написал небольшой трактат и би- и три- магических квадратах.

Тримагическим квадратом называется квадрат, который остается магическим тогда, когда мы заменяем все его числа кубами этих чисел.

Бимагические квадрат размером 128 x 128 был обнаружен в 1905 году. В 2002 году, немцу Уолтеру Трампу удалось построить тримагический квадрат 12 x 12 и это минимальное измерение, которое возможно для этого вида магического квадрата.

 

Оцените статью
( 4 оценки, среднее 5 из 5 )
Поделиться с друзьями
Темы школьной программы - математика 5-11 класс
Добавить комментарий

  1. Josephinet

    Shall we exchange links? My website https://zetds.seychellesyoga.com/jml

    Ответить
  2. Judyt

    Content for your website https://zetds.seychellesyoga.com/info

    Ответить
  3. Sallyt

    Web Development Wizards https://zetds.seychellesyoga.com/info

    Ответить
  4. Maggiet

    Can provide a link mass to your website https://zetds.seychellesyoga.com/info

    Ответить
  5. Mayt

    Your site’s position in the search results https://zetds.seychellesyoga.com/info

    Ответить
  6. Irist

    Free analysis of your website https://zetds.seychellesyoga.com/info

    Ответить
  7. Sandrat

    Content for your website https://zetds.seychellesyoga.com/info

    Ответить
  8. Lindat

    Web Development Wizards https://zetds.seychellesyoga.com/info

    Ответить
  9. Idat

    Web Development Wizards https://zetds.seychellesyoga.com/info

    Ответить
  10. Janett

    Can provide a link mass to your website https://zetds.seychellesyoga.com/info

    Ответить
  11. Sophiat

    Your site’s position in the search results https://zetds.seychellesyoga.com/info

    Ответить
  12. Irenet

    SEO Optimizers Team https://zetds.seychellesyoga.com/info

    Ответить
  13. Bridgett

    I offer mutually beneficial cooperation https://zetds.seychellesyoga.com/info

    Ответить
  14. Viviant

    Cool website. There is a suggestion https://zetds.seychellesyoga.com/info

    Ответить
  15. Melissat

    I really liked your site. Do you mind https://zetds.seychellesyoga.com/info

    Ответить
  16. Beatricet

    Here’s what I can offer for the near future https://zetds.seychellesyoga.com/info

    Ответить
  17. Jennyt

    You will definitely like it https://zetds.seychellesyoga.com/info

    Ответить
  18. Isabellat

    Content for your website https://ztd.bardou.online/adm

    Ответить
  19. Mayt

    Web Development Wizards https://ztd.bardou.online/adm

    Ответить
  20. Pollyt

    Can provide a link mass to your website https://ztd.bardou.online/adm

    Ответить
  21. Pennyt

    Your site’s position in the search results https://ztd.bardou.online/adm

    Ответить
  22. Audreyt

    Free analysis of your website https://ztd.bardou.online/adm

    Ответить
  23. Monicat

    SEO Optimizers Team https://ztd.bardou.online/adm

    Ответить
  24. Josephinet

    I offer mutually beneficial cooperation https://ztd.bardou.online/adm

    Ответить
  25. Zoet

    Cool website. There is a suggestion https://ztd.bardou.online/adm

    Ответить
  26. Gwinnettt

    Here’s what I can offer for the near future https://ztd.bardou.online/adm

    Ответить
  27. Dorothyt

    Content for your website https://ztd.bardou.online/adm

    Ответить
  28. Irist

    Web Development Wizards https://ztd.bardou.online/adm

    Ответить
  29. Ginat

    Can provide a link mass to your website https://ztd.bardou.online/adm

    Ответить
  30. Ellat

    Your site’s position in the search results https://ztd.bardou.online/adm

    Ответить
  31. Jennifert

    Free analysis of your website https://ztd.bardou.online/adm

    Ответить
  32. Jessicat

    SEO Optimizers Team https://ztd.bardou.online/adm

    Ответить
  33. Sabrinat

    I offer mutually beneficial cooperation https://ztd.bardou.online/adm

    Ответить
  34. Dorothyt

    Cool website. There is a suggestion https://ztd.bardou.online/adm

    Ответить
  35. Chloet

    Content for your website http://myngirls.online/

    Ответить
  36. Madisont

    Web Development Wizards http://myngirls.online/

    Ответить
  37. Violat

    Can provide a link mass to your website http://myngirls.online/

    Ответить
  38. Ivyt

    Your site’s position in the search results http://myngirls.online/

    Ответить
  39. Priscillat

    Free analysis of your website http://myngirls.online/

    Ответить
  40. Charlotet

    SEO Optimizers Team http://myngirls.online/

    Ответить
  41. Lydiat

    I offer mutually beneficial cooperation http://myngirls.online/

    Ответить
  42. Chloet

    Content for your website http://fertus.shop/info/

    Ответить
  43. Madisont

    Web Development Wizards http://fertus.shop/info/

    Ответить
  44. Violat

    Can provide a link mass to your website http://fertus.shop/info/

    Ответить
  45. Ivyt

    Your site’s position in the search results http://fertus.shop/info/

    Ответить
  46. Priscillat

    Free analysis of your website http://fertus.shop/info/

    Ответить
  47. Charlotet

    SEO Optimizers Team http://fertus.shop/info/

    Ответить
  48. Lydiat

    I offer mutually beneficial cooperation http://fertus.shop/info/

    Ответить
  49. Veronicat

    Cool website. There is a suggestion http://fertus.shop/info/

    Ответить
  50. Irmat

    I really liked your site. Do you mind http://fertus.shop/info/

    Ответить
  51. Pennyt

    Here’s what I can offer for the near future http://fertus.shop/info/

    Ответить
  52. Cassandrat

    You will definitely like it http://fertus.shop/info/

    Ответить
  53. Louiset

    The best prices from the best providers http://fertus.shop/info/

    Ответить
  54. Valeryt

    Additional earnings on your website http://fertus.shop/info/

    Ответить
  55. Irenet

    Analytics of your website http://fertus.shop/info/

    Ответить
  56. Paulat

    I would like to post an article http://fertus.shop/info/

    Ответить
  57. Candyt

    How to contact the administrator on this issue http://fertus.shop/info/

    Ответить
  58. Lilliant

    Shall we exchange links? My website http://fertus.shop/info/

    Ответить
  59. Tinat

    The offer is still valid. Details http://fertus.shop/info/

    Ответить
  60. Heathert

    We offer cooperation on SEO optimization http://fertus.shop/info/

    Ответить
  61. Pamelat

    Content for your website http://fertus.shop/info/

    Ответить
  62. Britneyt

    Web Development Wizards http://fertus.shop/info/

    Ответить
  63. Leonat

    Can provide a link mass to your website http://fertus.shop/info/

    Ответить
  64. Chloet

    Content for your website http://fertus.shop/info/

    Ответить
  65. Violat

    Can provide a link mass to your website http://fertus.shop/info/

    Ответить
  66. Priscillat

    Free analysis of your website http://fertus.shop/info/

    Ответить
  67. Lydiat

    I offer mutually beneficial cooperation http://fertus.shop/info/

    Ответить
  68. tlovertonet

    I am often to blogging and i really appreciate your content. The article has really peaks my interest. I am going to bookmark your site and keep checking for new information.

    Ответить
  69. tlovertonet

    I cherished as much as you will receive carried out right here. The caricature is tasteful, your authored material stylish. however, you command get bought an impatience over that you would like be turning in the following. unwell undoubtedly come further earlier once more since exactly the same just about a lot incessantly inside case you defend this hike.

    Ответить
  70. tlovertonet

    I want forgathering useful info, this post has got me even more info! .

    Ответить
  71. Vanessat

    Great article! I appreciate the clear and insightful perspective you’ve shared. It’s fascinating to see how this topic is developing. For those interested in diving deeper, I found an excellent resource that expands on these ideas: check it out here. Looking forward to hearing others’ thoughts and continuing the discussion!

    Ответить
  72. Cortez Gedeon

    Say, you got a nice blogThanks Again Really Great

    Ответить
  73. Gloriat

    Great read! The clarity and depth of your explanation are commendable. For further reading, here’s a useful resource: EXPLORE FURTHER. Let’s discuss!

    Ответить
  74. Лучшие Казино Онлайн: Рейтинг и Отзывы

    Рейтинг казино онлайн основан на таких критериях, как надежность и безопасность (лицензия, сертификаты, отзывы игроков), разнообразие игр (слоты, рулетка, блэкджек), бонусы и акции (приветственные бонусы, бонусы за депозит), поддержка клиентов (качество и скорость ответа) и мобильная версия (удобство и функциональность). Лучшие казино онлайн, такие как Casino-X, Joycasino, Vulkan, Goxbet и Mostbet, предлагают широкий выбор игр, щедрые бонусы и быструю поддержку клиентов. Они имеют лицензию и сертификаты, гарантирующие честность и безопасность игры. Перед выбором казино рекомендуется прочитать отзывы и сравнить бонусы и игры, чтобы найти идеальное место для игры.

    Ответить
  75. smortergiremal

    Some truly superb posts on this site, regards for contribution.

    Ответить
  76. официальное казино онлайн

    На странице представлено большое количество онлайн казино с различными бонусами. Каждый найдет для себя что-то подходящее. Кэшбэк и фриспины, увеличение депозита и многое другое! На сайте https://skopin-college.ru/ представлены такие казино как: 1GO, LEX, DRIP, VOLNA, MONRO, IZZI, STARDA, FRESH, ROX, LEGZO, JET, SOL Также, не упустите возможность попытать удачу в на эксклюзивных платформах https://t.me/s/kazino_casino_top : KOMETA, DADDY, GAMA, R7, KENT, CAT Все казино аккредитованы и имеют лицензию. Вывод на карту от 5 минут до 12 часов в зависимости от выбранного Вами казино. Онлайн казино не требует подтверждения личности по документам и дает возможность заводить несколько аккаунтов. Самые лояльные казино в списке – новые слоты qbunxepgga

    Ответить
  77. zoritoler imol

    I¦ve recently started a website, the information you offer on this site has helped me greatly. Thanks for all of your time & work.

    Ответить