Понедельник, 18 ноября 2019   Подписка на обновления
Понедельник, 18 ноября 2019   Подписка на обновления
Популярно
Как решать логарифмические уравнения — подробный разбор

Как решать логарифмические уравнения — подробный разбор


Чтобы ответить на вопрос как решать логарифмические уравнения давайте вспомним, что такое логарифм. Логарифм — это показатель степени, в которую нужно возвести основание логарифма, чтобы получить число.

Например,

2^3=8 или число 3 (показатель степени) мы можем записать так  log_2{8}, таким образом log_2{8} =3

Основание логарифма всегда положительное число, не равное 1. Число под знаком логарифма — строго больше нуля.

Теперь переходим непосредственно к вопросу — как решать логарифмические уравнения из профильного и из базового ЕГЭ.

Пример 1 Найдите корень уравнения.

log_2{(7-x)}=5

согласно определению логарифма:

 2^5=7-x

32=7-x

Все неизвестные переносим в левую часть уравнения (слева от =), а известные — переносим в правую сторону.

Получим:

x=7-32

x=-25

Делаем проверку:

log_2{(7-(-25))}=5

 log_2{32}=5

5=5

Ответ: x=-25

Пример 2. Найдите корень уравнения.

log_7{(9-x)}=3log_7{3}

Здесь для решения данного логарифмического уравнения будем использовать свойство логарифма:

mlog_a{b}=log_a{b^m}

То есть внесем число 3 справа под знак логарифма.

log_7{(9-x)}=log_7{3^3}

или

log_7{(9-x)}=log_7{27}

Если показатели степени равны, основания степени равны, то равны числа, получаемые в результате, то есть получим

9-x=27

-x=27-9

-x=18

x=-18

Делаем проверку: log_7{(9+18)}=log_7{27}

Получаем: log_7{27}=log_7{27}

27=27

Ответ: x=-18

Пример 3. Найдите корень уравнения

log_4{(2-x)}=log_{16}{25}

Используем следующее свойство логарифма:

log_{a^n}{b}=\frac{1}{n}log_a{b}=log_a{b^{\frac{1}{n}}}

Тогда получим:

log_4{(2-x)}=log_4{25^{\frac{1}{2}}}

 log_4{(2-x)}=log_4{5}

2-x=5

-x=5-2

-x=3

x=-3

Свойства логарифмов

Делаем проверку:

log_4{(2-(-3))}=log_{16}{25}

log_4{5}=log_4{5}

5=5

Ответ: x=-3

Пример 4. Найдите корень уравнения.

log_2{(4-x)}=8

Используя определение логарифма, получим:

4-x=2^8

4-x=256

-x=256-4

-x=252

x=-252

Проверим: log_2{(4-(-252))}=8

log_2{256}=8

8=8

Ответ: x=-252.

Таким образом, теперь вы можете составить четкую инструкцию, как решать логарифмические уравнения. Она заключается в следующих шагах:

  1. Сделать справа и слева от знака равенства (=) логарифмы по одному основанию, избавившись от коэффициентов перед логарифмами, используя свойства логарифмов.
  2. Избавляемся от логарифмов, используя правило потенцирования. Остаются только числа, которые были под знаком логарифма.
  3. Решаем получившееся обычное уравнение — как найти корень уравнения смотрите здесь.
  4. Делаем проверку
  5. Записываем ответ.

© 2019 Репетитор по математике
Дизайн и поддержка: GoodwinPress.ru