Как решать логарифмические уравнения

Как решать логарифмические уравнения — подробный разбор

Чтобы ответить на вопрос как решать логарифмические уравнения давайте вспомним, что такое логарифм. Логарифм — это показатель степени, в которую нужно возвести основание логарифма, чтобы получить число.

Например,

$2^3=8$ или число 3 (показатель степени) мы можем записать так $log_2{8}$ , таким образом $log_2{8} =3$

Основание логарифма всегда положительное число, не равное 1. Число под знаком логарифма — строго больше нуля.

Теперь переходим непосредственно к вопросу — как решать логарифмические уравнения из профильного и из базового ЕГЭ.

Пример 1 Найдите корень уравнения.

$log_2{(7-x)}=5$

согласно определению логарифма:

$2^5=7-x$

$32=7-x$

Все неизвестные переносим в левую часть уравнения (слева от =), а известные — переносим в правую сторону.

Получим:

$x=7-32$

$x=-25$

Делаем проверку:

$log_2{(7-(-25))}=5$

$log_2{32}=5$

$5=5$

Ответ: $x=-25$

Пример 2. Найдите корень уравнения.

$log_7{(9-x)}=3log_7{3}$

Здесь для решения данного логарифмического уравнения будем использовать свойство логарифма:

$mlog_a{b}=log_a{b^m}$

То есть внесем число 3 справа под знак логарифма.

$log_7{(9-x)}=log_7{3^3}$

или

$log_7{(9-x)}=log_7{27}$

Если показатели степени равны, основания степени равны, то равны числа, получаемые в результате, то есть получим

$9-x=27$

$-x=27-9$

$-x=18$

$x=-18$

Делаем проверку: $log_7{(9+18)}=log_7{27}$

Получаем: $log_7{27}=log_7{27}$

$27=27$

Ответ: $x=-18$

Пример 3. Найдите корень уравнения

$log_4{(2-x)}=log_{16}{25}$

Используем следующее свойство логарифма:

$log_{a^n}{b}=\frac{1}{n}log_a{b}=log_a{b^{\frac{1}{n}}}$

Тогда получим:

$log_4{(2-x)}=log_4{25^{\frac{1}{2}}}$

$log_4{(2-x)}=log_4{5}$

$2-x=5$

$-x=5-2$

$-x=3$

$x=-3$

Делаем проверку:

$log_4{(2-(-3))}=log_{16}{25}$

$log_4{5}=log_4{5}$

$5=5$

Ответ: $x=-3$

Пример 4. Найдите корень уравнения.

$log_2{(4-x)}=8$

Используя определение логарифма, получим:

$4-x=2^8$

$4-x=256$

$-x=256-4$

$-x=252$

$x=-252$

Проверим: $log_2{(4-(-252))}=8$

$log_2{256}=8$

$8=8$

Ответ: $x=-252$ .

Таким образом, теперь вы можете составить четкую инструкцию, как решать логарифмические уравнения. Она заключается в следующих шагах:

Сделать справа и слева от знака равенства (=) логарифмы по одному основанию, избавившись от коэффициентов перед логарифмами, используя свойства логарифмов.
Избавляемся от логарифмов, используя правило потенцирования. Остаются только числа, которые были под знаком логарифма.
Решаем получившееся обычное уравнение — как найти корень уравнения смотрите здесь.
Делаем проверку
Записываем ответ.