Пятница, 17 сентября 2021   Подписка на обновления
Пятница, 17 сентября 2021   Подписка на обновления
Популярно
Спираль Архимеда

Спираль Архимеда


Спираль Архимеда — это линия, которая напоминает спираль и выражается определенным уравнением. Открытие кривой приписывается Конону Самосскому, ученику Архимеда. В честь его учителя — спираль названа спиралью Архимеда. Давайте же разберемся с этой линией и попробуем ее самостоятельно построить.

Спираль Архимеда

Линия, которую называют спиралью Архимеда, строится в полярных координатах и определяется уравнением:

    \[r=a \varphi\]

Здесь a — это положительное число, r — полярный радиус.

Другие названия: равносторонняя спираль, неоид.

Как построить спираль Архимеда

Чтобы построить спираль Архимеда, нужно присваивать \varphi некоторые произвольные значения и определять r. Построим таблицу значений:

\varphi r
0 0
\frac{\pi}{2} \frac{\pi}{2}a
\pi \pi a
\frac{3\pi}{2} \frac{3\pi}{2}a
2\pi 2 \pi a

Данная таблица (r, \varphi) показывает, что при возрастании угла \varphi в арифметической прогрессии с разностью \frac{\pi}{2} полярный радиус возрастает тоже в арифметической прогрессии с разностью a \frac{\pi}{2}. Кроме того, заметим, что всякой точке этой линии с положительными координатами (r, \varphi) соответствует на этой линии точка (-r, - \varphi), то есть спираль Архимеда симметрично расположена относительно прямой, проходящей через полюс перпендикулярно к полярной оси.

спираль Архимеда

На рисунке изображена спираль Архимеда — сплошной линией изображена ветвь, соответствующая положительным значениям \varphi, а пунктирной — отрицательным.

 

Спираль Архимеда с данными

Благодаря этой спирали можно рассчитать площадь круга, по записям Архимед умел это делать и знал, что «поверхность первого витка спирали равна одной трети поверхности круга, радиус которого равен длине, пройденной точкой на прямой, во время рисования первого витка».

Треть площади круга по Архимедовой спирали

Спираль Архимеда с точки зрения кинематики Спираль Архимеда — это траектория точки, равномерно движущейся по прямой линии плоскости, причем эта линия равномерно поворачивается вокруг одной из своих точек.

Спираль Архимеда активно используется в искусстве, посмотрите:

Спираль Архимеда в искусстве Мозаика на основе спирали Архимеда

Видео — как нарисовать спираль Архимеда

Об авторе: Ольга Викторовна


© 2021 Репетитор по математике
Дизайн и поддержка: GoodwinPress.ru