Спираль Архимеда

Спираль Архимеда — это линия, которая напоминает спираль и выражается определенным уравнением. Открытие кривой приписывается Конону Самосскому, ученику Архимеда. В честь его учителя — спираль названа спиралью Архимеда. Давайте же разберемся с этой линией и попробуем ее самостоятельно построить.

Спираль Архимеда

Линия, которую называют спиралью Архимеда, строится в полярных координатах и определяется уравнением:

$r=a \varphi$

Здесь $a$ — это положительное число, $r$ — полярный радиус.

Другие названия: равносторонняя спираль, неоид.

Как построить спираль Архимеда

Чтобы построить спираль Архимеда, нужно присваивать $\varphi$ некоторые произвольные значения и определять $r$ . Построим таблицу значений:

$\varphi$	$r$
0	0
$\frac{\pi}{2}$	$\frac{\pi}{2}a$
$\pi$	$\pi a$
$\frac{3\pi}{2}$	$\frac{3\pi}{2}a$
$2\pi$	$2 \pi a$

Данная таблица $(r, \varphi)$ показывает, что при возрастании угла $\varphi$ в арифметической прогрессии с разностью $\frac{\pi}{2}$ полярный радиус возрастает тоже в арифметической прогрессии с разностью $a \frac{\pi}{2}$ . Кроме того, заметим, что всякой точке этой линии с положительными координатами $(r, \varphi)$ соответствует на этой линии точка $(-r, - \varphi)$ , то есть спираль Архимеда симметрично расположена относительно прямой, проходящей через полюс перпендикулярно к полярной оси.

На рисунке изображена спираль Архимеда — сплошной линией изображена ветвь, соответствующая положительным значениям $\varphi$ , а пунктирной — отрицательным.

Благодаря этой спирали можно рассчитать площадь круга, по записям Архимед умел это делать и знал, что «поверхность первого витка спирали равна одной трети поверхности круга, радиус которого равен длине, пройденной точкой на прямой, во время рисования первого витка».

Спираль Архимеда — это траектория точки, равномерно движущейся по прямой линии плоскости, причем эта линия равномерно поворачивается вокруг одной из своих точек.